Diketahui:

Fungsi $f\left(x\right)=3\sin x+12$ dengan $0\le x\le2\pi$

Ditanya:

Fungsi $f\left(x\right)$ cekung ke atas pada interval?

Jawab:

Dimisalkan fungsi $f$ diferensiabel pada interval terbuka $I$

1. Jika $f''\left(x\right)>0$ untuk semua $x\in I$ maka kurva fungsi $f$ cekung ke atas pada interval $I$
2. Jika $f''\left(x\right)<0$ untuk semua $x\in I$ maka kurva fungsi $f$ cekung ke bawah pada interval $I$

Dengan demikian untuk menentukan kecekungan ditentukan terlebih dahulu turunan keduaya.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=a$ dengan $a$ suatu konstanta turunannya adalah $y'=0$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Pada soal diketahui fungsi $f\left(x\right)=3\sin x+12$. Diperoleh

$f'\left(x\right)=3\cos x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$f''\left(x\right)=-3\sin x$

Selanjutnya syarat untuk fungsi $f$ cekung ke atas adalah

$f''\left(x\right)>0$

$\Leftrightarrow-3\sin x>0$

$\Leftrightarrow\sin x<0$

$\Leftrightarrow\sin x<\sin0$

sebab $\sin0=0$

Akan dicari pembuat nol dari pertidaksamaan $\sin x<\sin0$ dengan memisalkan tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan. Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\sin\left(ax+b\right)=\sin\theta$ adalah $ax+b=\theta+2k\pi$ atau $ax+b=\left(\pi-\theta\right)+2k\pi$ sehingga untuk $\sin x=\sin0$ didapat

$x=0+2k\pi=2k\pi$

untuk $k=0$ didapat $x=2.0.\pi=0$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=1$ didapat $x=2.1.\pi=2\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

atau

$x=\left(\pi-0\right)+2k\pi=\pi+2k\pi=\left(1+2k\right)\pi$

untuk $k=0$ didapat $x=\left(1+2.0\right)\pi=\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=1$ didapat $x=\left(1+2.1\right)\pi=3\pi$ tidak memenuhi $0\le x\le2\pi$

Artinya, pembuat nol dari $\sin x<\sin0$ adalah $x=\left\{0,\ \pi,\ 2\pi\right\}$

Selanjutnya akan ditinjau nilai $\sin x$ untuk setiap interval yang terbentuk.

Untuk subinterval $0\le x<\pi$ dipilih $x=\frac{1}{3}\pi$ didapat

$\sin\frac{1}{3}\pi=\frac{1}{2}\sqrt3$ (positif).

Untuk subinterval yang lain dicari dengan cara yang sama, sehingga diperoleh

Mengingat pertidaksamaan $\sin x<0$ (yang diperoleh sebelumnya) dipilih yang bernilai negatif. Jadi interval agar fungsi $f\left(x\right)=3\sin x+12$ dengan $0\le x\le2\pi$ cekung ke atas adalah $\pi<x<2\pi$