Diketahui:

Fungsi $h\left(x\right)=\sin 3x-4$ dengan $0\le x\le2\pi$.

Ditanya:

Dengan menggunakan uji turunan kedua, titik balik minimum fungsi $h$ ?

Jawab:

Misalkan fungsi $f\left(x\right)$ kontinu dan diferensiabel dalam interval $I$ yang memuat $x=c$. Turunan pertama $f'\left(x\right)$ dan turunan kedua $f''\left(x\right)$ ada pada interval $I$, serta $f'\left(c\right)=0$ dengan $f\left(c\right)$ nilai stasioner.

1. Jika $f''\left(c\right)<0$ maka $f\left(c\right)$ adalah nilai balik maksimum fungsi $f$.
2. Jika $f''\left(c\right)>0$ maka $f\left(c\right)$ adalah nilai balik minimum fungsi $f$.
3. Jika $f''\left(c\right)=0$ maka $f\left(c\right)$ bukan nilai ekstrim maksimum fungsi $f$ dan titik $\left(c,\ f\left(c\right)\right)$ adalah titik belok kurva fungsi $f$.

Dengan demikian perlu dicari turunan pertama dan turunan keduanya.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Pada soal diketahui fungsi $h\left(x\right)=\sin 3x-4$. Diperoleh

$h'\left(x\right)=3\cos 3x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$h''\left(x\right)=-9\sin3 x$

Syarat nilai balik minimum adalah

$h'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow3\cos 3x=0$

$\Leftrightarrow\cos 3x=0$

$\Leftrightarrow\cos 3x=\cos\frac{1}{2}\pi$

sebab $\cos\frac{1}{2}\pi=0$

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\cos\left(ax+b\right)=\cos\theta$ adalah $ax+b=\theta+2k\pi$ atau $ax+b=-\theta+2k\pi$ sehingga untuk $\cos 3x=\cos\frac{1}{2}\pi$ didapat

$3x=\frac{1}{2}\pi+2k\pi$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}\pi+\frac{2}{3}k\pi$

$\Leftrightarrow x=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}k\right)\pi$

untuk $k=0$ diperoleh $x=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.0\right)\pi=\frac{1}{6}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=1$ diperoleh $x=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.1\right)\pi=\left(\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\right)\pi=\frac{5}{6}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=2$ diperoleh $x=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.2\right)\pi=\left(\frac{1}{6}+\frac{8}{6}\right)\pi=\frac{9}{6}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=3$ diperoleh $x=\left(\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.3\right)\pi=\left(\frac{1}{6}+2\right)\pi$ tidak memenuhi $0\le x\le2\pi$

atau

$3x=-\frac{1}{2}\pi+2k\pi$

$\Leftrightarrow x=-\frac{1}{6}\pi+\frac{2}{3}k\pi$

$\Leftrightarrow x=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}k\right)\pi$

untuk $k=0$ diperoleh $x=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.0\right)\pi=-\frac{1}{6}\pi$ tidak memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=1$ diperoleh $x=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.1\right)\pi=\left(-\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\right)\pi=\frac{3}{6}\pi=\frac{1}{2}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=2$ diperoleh $x=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.2\right)\pi=\left(-\frac{1}{6}+\frac{8}{6}\right)\pi=\frac{7}{6}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=3$ diperoleh $x=\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}.3\right)\pi=\left(-\frac{1}{6}+\frac{12}{6}\right)\pi=\frac{11}{6}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

Artinya semua $x$ yang memenuhi adalah $x=\frac{1}{6}\pi,\ \frac{5}{6}\pi,\ \frac{9}{6}\pi,\ \frac{1}{2}\pi,\ \frac{7}{6}\pi,\ \frac{11}{6}\pi$

Selanjutnya akan ditinjau nilai $h''\left(x\right)$ untuk $x$ yang telah diperoleh sebelumnya.

Perlu diingat untuk sembarang $\sin\left(2\pi+\theta\right)=\sin\theta$. Didapat

$h''\left(\frac{1}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{1}{6}\pi=-9\sin\frac{1}{2}\pi=-9.1=-9<0$

$h''\left(\frac{5}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{5}{6}\pi=-9\sin\frac{5}{2}\pi=-9\sin\frac{1}{2}\pi=-9.1=-9<0$

$h''\left(\frac{9}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{9}{6}\pi=-9\sin\frac{9}{2}\pi=-9\sin\frac{1}{2}\pi=-9.1=-9<0$

$h''\left(\frac{1}{2}\pi\right)=-9\sin3.\frac{1}{2}\pi=-9\sin\frac{3}{2}\pi=-9.\left(-1\right)=9>0$

$h''\left(\frac{7}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{7}{6}\pi=-9\sin\frac{7}{2}\pi=-9\sin\frac{3}{2}\pi=-9.\left(-1\right)=9>0$

$h''\left(\frac{11}{6}\pi\right)=-9\sin3.\frac{11}{6}\pi=-9\sin\frac{11}{2}\pi=-9\sin\frac{11}{2}\pi=-9.\left(-1\right)=9>0$

Yang diminta soal adalah titik balik minimum, sehingga dipilih $x=c$ yang memenuhi $h''\left(c\right)>0$

yaitu $x=\frac{1}{2}\pi,\ \frac{7}{6}\pi,\ \frac{11}{6}\pi$

Untuk $x=\frac{1}{2}\pi$ didapat $h\left(\frac{1}{2}\pi\right)=\sin3.\frac{1}{2}\pi-4=\sin\frac{3}{2}\pi-4=-1-4=-5$

Untuk $x=\frac{7}{6}\pi$ didapat $h\left(\frac{7}{6}\pi\right)=\sin3.\frac{7}{6}\pi-4=\sin\frac{7}{2}\pi-4=\sin\frac{3}{2}\pi-4=-1-4=-5$

Untuk $x=\frac{11}{6}\pi$ didapat $h\left(\frac{11}{6}\pi\right)=\sin3.\frac{11}{6}\pi-4=\sin\frac{11}{2}\pi-4=\sin\frac{3}{2}\pi-4=-1-4=-5$

Jadi titik balik minimum fungsi $h$ adalah $(\frac{1}{2}\pi,\ -5),\ (\frac{7}{6}\pi,\ -5),$ dan $(\frac{11}{6}\pi,\ -5)$