Diketahui:

Kurva $y=g(x)$ dengan $g(x)=\frac{\cos x}{\csc x}$

Ditanya:

Persamaan garis normal pada kurva $y$ di titik $(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3)$ ?

Jawab:

Nilai kemiringan / gradien garis normal suatu kurva $f\left(x\right)$ dapat dicari menggunakan turunan yaitu

$m=f'\left(x\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

sehingga persamaan garis normal pada kurva $f\left(x\right)$ di titik $\left(x_1,\ y_1\right)$ adalah

$y-y_1=-\frac{1}{f'\left(x_1\right)}\left(x-x_1\right)$

Pertama akan dicari turunan pertama fungsi $f\left(x\right)$.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=\csc x$ turunannya adalah $y'=-\csc x\cot x$

Untuk fungsi $y=\frac{u}{v}$ turunannya adalah $y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Fungsi yang diketahui pada soal berbentuk $g(x)=\frac{u}{v}$ dengan $u=\cos x$ dan $v=\csc x$

Diperoleh

$u'=-\sin x$

$v'=-\csc x\cot x$

Perlu diingat bahwa $\sin x\csc x=1$, $\csc x=\frac{1}{\sin x}$ dan $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

Dengan demikian didapat

$g'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

$\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-\sin x\csc x-\cos x(-\csc x\cot x)}{\csc^2x}$

$\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-1+\cos x\csc x\cot x}{\csc^2x}$

$\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-1+\cos x\frac{1}{\sin x}\cot x}{\csc^2x}$

$\Leftrightarrow g'(x)=\frac{-1+\cot^2 x}{\csc^2x}$

dan gradien garis singgung pada kurva $y=g(x)$ di titik $(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3)$ adalah

$m=g'(60\degree)$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1+\cot^260\degree}{\csc^260\degree}$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1+\frac{\cos^260\degree}{\sin^260\degree}}{\frac{1}{\sin^260\degree}}$

$\Leftrightarrow m=(-1+\frac{\cos^260\degree}{\sin^260\degree})\sin^260\degree$

$\Leftrightarrow m=(-1+\frac{(\frac{1}{2})^2}{(\frac{1}{2}\sqrt3)^2})(\frac{1}{2}\sqrt3)^2$

$\Leftrightarrow m=(-1+\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}})\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow m=(-1+\frac{1}{3})\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow m=(-\frac{2}{3})\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}$

Selanjutnya persamaan garis normal pada kurva $y=g(x)$ di titik $(60\degree, \frac{1}{4}\sqrt3)$ adalah

$y-(\frac{1}{4}\sqrt3)=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}\left(x-60\degree\right)$

$\Leftrightarrow y-(\frac{1}{4}\sqrt3)=2\left(x-60\degree\right)$

$\Leftrightarrow y=2x-120\degree+\frac{1}{4}\sqrt3$