kejarcita | Merdeka Belajar Merdeka Mengajar

# 3

Pilgan

Diketahui $S\left(n\right)$ adalah rumus dari

$-2+2+6+10+\dots+\left(4n-6\right)=2n^2-4n$

Jika $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ , maka akan dibuktikan benar bahwa ....

A

$4k-6=2k^2-4k$

B

$4(k+1)-6=2(k+1)^2-4(k+1)$

C

$4k-6=2(k+1)^2-4(k+1)$

D

$-2+2+6+10+\dots+(4k-6)=2k^2-4k$

E

$-2+2+6+10+\dots+(4k-6)+(4(k+1)-6)=2(k+1)^2-4(k+1)$

Pembahasan:

Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=a$ , dengan $a$ bilangan asli terkecil yang memenuhi $S\left(n\right)$ .
Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ , kemudian akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$ .

Pernyataan $S\left(n\right)$ dikatakan benar untuk $n=p$ ( $p$ dapat berupa bilangan maupun variabel) jika dengan mensubstitusikan $n=p$ pada $S\left(n\right)$ , maka pernyataan $S\left(n\right)$ benar/berlaku.

Pada soal dinyatakan bahwa "jika $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ " artinya telah diandaikan bahwa $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ . Langkah selanjutnya adalah membuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$ , yaitu dengan mensubstitusikan $n=k+1$ pada $S\left(n\right)$ diperoleh

$-2+2+6+10+\dots+(4k-6)+(4(k+1)-6)=2(k+1)^2-4(k+1)$