$$Diketahui: $y=\frac{x+3}{x-2}$

Ditanya: Persamaan garis singgung kurva di titik $\left(1,-4\right)$

Dijawab:

Jika $h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ dengan $g\left(x\right)\ne0$, turunan pertama fungsi $h$ dapat ditentukan dengan metode berikut.

$h'\left(x\right)=\frac{f'\left(x\right)\times g\left(x\right)-f\left(x\right)\times g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^2}$

Adapun hubungan antara gradien garis singgung dan turunan fungsi adalah sebagai berikut.

$m=y'=h'(x)$

Misalkan $f\left(x\right)=x+3$ dan $g\left(x\right)=x-2$. Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$f'\left(x\right)=1$

$g'\left(x\right)=1$

$m=\frac{\left(x-2\right)-\left(x+3\right)}{\left(x-2\right)^2}=-\frac{5}{\left(x-2\right)^2}$

Gradien garis singgung kurva di titik $\left(1,-4\right)$ dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai $x=1$ ke persamaan $m$, sehingga diperoleh:

$m=-\frac{5}{\left(1-2\right)^2}=-\frac{5}{(-1)^2}=-5$

Persamaan garis singgung kurva dapat ditentukan dengan metode berikut.

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$y-\left(-4\right)=\left(-5\right)\left(x-1\right)$

$y+4=-5x+5$

$y=-5x+1$

Jadi, persamaan garis singgung kurva $y$ di titik $\left(1,-4\right)$ adalah $y=-5x+1$.