Diketahui:

$\tan^2\theta-2\tan\theta=-1$

$0\degree\le\theta\le360\degree$

Ditanya:

Perbandingan nilai $\theta$ terbesar dan terkecil $=?$

Jawab:

Langkah-langkah menyelesaikan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

Ubah dalam bentuk persamaan kuadrat

$\tan^2\theta-2\tan\theta=-1$

$\tan^2\theta-2\tan\theta+1=0$

Misalkan $x=\tan\theta$ maka

$x^2-2x+1=0$

Mencari akar persamaan kuadrat

$x^2-2x+1=0$

$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=0$

$x-1=0$

$x=1$

Karena $x=\tan\theta$ maka $\tan\theta=1$

Mencari nilai $\theta$ yang memenuhi

$\tan\theta=1$

$\tan\theta=\tan45\degree$

$\tan x=\tan\alpha\degree$ memiliki kemungkinan

$x=\left\{\alpha\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree\right\}$

sehingga

$\theta=45\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$\theta=45\degree+\left(180\ .\ 0\right)\degree$

$\theta=45\degree+0\degree$

$\theta=45\degree$

untuk $k=1$ diperoleh

$\theta=45\degree+\left(180\ .\ 1\right)\degree$

$\theta=45\degree+180\degree$

$\theta=225\degree$

untuk $k=2$ diperoleh

$\theta=45\degree+\left(180\ .\ 2\right)\degree$

$\theta=45\degree+360\degree$

$\theta=405\degree$ (tidak memenuhi)

Sehingga nilai $\theta$ yang memenuhi adalah $45\degree$ dan $225\degree$

Perbandingan nilai $\theta$ terbesar dan terkecil $=225\degree:45\degree$

$=5:1$

Jadi, perbandingan nilai $\theta$ terbesar dan terkecil adalah $5:1$