Latihan Matematika Wajib Kelas X Pertidaksamaan Irasional
#
3
Pilgan
Solusi dari pertidaksamaan 1−x<x2−2x adalah ....
A
x≥2
B
{}
C
x≤2
D
x≤0 dan x≥2
E
x≥0
Pembahasan:
Diketahui:
Pertidaksamaan 1−x<x2−2x
Ditanya:
Solusi pertidaksamaan?
Dijawab:
Pertidaksamaan ini juga dapat ditulis dalam bentuk f(x)>g(x). Jika bentuk umumnya seperti ini, ada dua solusi yang dapat digabungkan jadi satu nantinya.
Solusi 1 (*):
Irisan dari
Syarat akar f(x)≥0 (I)
Kasus fungsi g(x)≥0 (positif atau sama dengan nol) (II)
Kuadratkan kedua ruas menjadi f(x)>g(x)2 (III)
Solusi 2 (**):
Irisan dari
Syarat akar f(x)≥0 (IV)
Kasus fungsi g(x)<0 (negatif) (V)
Kedua ruas tidak perlu dikuadratkan lagi karena jika g(x)<0, f(x)>g(x) akan benar untuk seluruh nilai x riil.
Solusi akhir:
Gabungan dari solusi 1 dan 2.
Pertidaksamaan yang diberikan oleh soal adalah
x2−2x>1−x ... (1)
dengan f(x)=x2−2x dan g(x)=1−x.
Sekarang, kita cari solusi untuk masing-masing kasus.
Solusi 1:
Kasus 1
x2−2x≥0 ... (2)
Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum
ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≤0,ax2+bx+c>0, atauax2+bx+c≥0
dengan a,b,c merupakan konstanta dan a=0.
Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah
Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien x2 positif.
Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
Misalkan x1 dan x2 merupakan pembuat nolnya dengan x1<x2 maka penyelesaiannya adalah
x≤x1 atau x≥x2, untuk tanda pertidaksamaan ≥ (atau > dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
x1≤x≤x2, untuk tanda pertidaksamaan ≤ (atau < dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien x2 positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh
x2−2x=0
⇔ x(x−2)=0
x=0 atau
x−2=0⇔ x=2
Pembuat nolnya adalah 0 dan 2. Karena tandanya adalah ≥, berarti solusi di kasus 1 adalah x≥2 atau x≤0 (I).
Kasus 2
1−x≥0⇔ x≤1 ... (II)
Kasus 3
x2−2x>(1−x)2
⇔ x2−2x>1−2x+x2 ... (3)
Tidak ada nilai x yang membuat pertidaksamaan (3) benar. Jadi, solusi dari pertidaksamaan (3) adalah himpunan kosong (III).
Karena salah satu solusi adalah himpunan kosong, irisan dari solusi (I), (II), dan (III) adalah himpunan kosong.
Solusi 2:
Kasus 1
x2−2x≥0
Sama seperti Solusi 1 kasus 1, solusinya adalah x≥2 atau x≤0 (IV)
Kasus 2
1−x<0⇔ x>1 ... (V)
Garis bilangan dari solusi (IV) dan (V) adalah:
Solusi 2 memiliki batas nilai x≥2.
Solusi gabungan adalah gabungan dari solusi 1 dan 2. Jadi, solusi keseluruhan adalah x≥2.
Pembuktian:
Untuk x≥2, kita gunakan x=3 untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).