Diketahui:

Pertidaksamaan $x-1<\sqrt{x^2+1}$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan ini juga dapat ditulis dalam bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}>\ g\left(x\right)$. Jika bentuk umumnya seperti ini, ada dua solusi yang dapat digabungkan jadi satu nantinya.

Solusi 1 (*):

Irisan dari

1. Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (I)
2. Kasus fungsi $g\left(x\right)\ge0$ (positif atau sama dengan nol) (II)
3. Kuadratkan kedua ruas menjadi $f\left(x\right)>g\left(x\right)^2$ (III)

Solusi 2 (**):

Irisan dari

1. Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (IV)
2. Kasus fungsi $g\left(x\right)<0$ (negatif) (V)

Kedua ruas tidak perlu dikuadratkan lagi karena jika $g\left(x\right)<0$, $\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)$ akan benar untuk seluruh nilai $x$ riil.

Solusi akhir:

Gabungan dari solusi 1 dan 2.

Pertidaksamaan yang diberikan oleh soal adalah

$\sqrt{x^2+1}>x-1$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=x^2+1$ dan $g\left(x\right)=x-1$.

Sekarang, kita cari solusi untuk masing-masing kasus.

Solusi 1:

Kasus 1

$x^2+1=0$

Semua nilai $x$ riil yang dapat memenuhi persamaan di atas. Jadi, solusinya adalah $x\in\Re$ (I).

Kasus 2

$x-1\ge0$ ⇔ $x\ge1$ ... (II)

Kasus 3

$x^2+1>\left(x-1\right)^2$

⇔ $x^2+1>x^2-2x+1$

⇔ $2x>0$

⇔ $x>0$ ... (III)

Garis bilangan dari solusi (I), (II), dan (III) adalah:

Solusi (*) adalah irisan dari ketiga solusi yang ada. Jadi, solusinya adalah $x\ge1$ (*).

Solusi 2:

Kasus 1

$x^2+1=0$

Semua nilai $x$ riil yang dapat memenuhi persamaan di atas. Jadi, solusinya adalah $x\in\Re$ (IV).

Kasus 2

$x-1<0$ ⇔ $x<1$ ... (V)

Garis bilangan dari solusi (IV) dan (V) adalah:

Solusi (**) adalah irisan dari kedua solusi yang ada. Jadi, solusinya adalah $x<1$ (**).

Solusi gabungan adalah gabungan dari solusi 1 dan 2. Jadi, solusi keseluruhan adalah $x\in\Re$.