Diketahui:
Fungsi y=sec(2x−9)
Ditanya:
Turunan ketiga dari y ?
Jawab:
Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:
Untuk fungsi y=asec(u(x)) turunannya adalah y′=a.u′(x)sec(u(x))tan(u(x))
Untuk fungsi y=tan(ax+b) turunannya adalah y′=asec2(ax+b)
Untuk fungsi y=asecn(f(x)) turunannya adalah y′=a.nsecn−1(f(x))sec(f(x))tan(f(x))f′(x)
Untuk fungsi y=atann(f(x)) turunannya adalah y′=a.ntann−1(f(x))sec2(f(x))f′(x)
Untuk fungsi y=u.v turunannya adalah y′=u′v+uv′
Untuk fungsi y=f(x)+g(x) turunannya adalah y′=f′(x)+g′(x)
Diperoleh turunan pertama fungsi y adalah
y′=2sec(2x−9)tan(2x−9)
Selanjutnya, untuk mencari turunan keduanya, maka turunan pertamanya diturunkan lagi.
Dimisalkan u=2sec(2x−9) dan v=tan(2x−9).
Diperoleh u′=4sec(2x−9)tan(2x−9) dan v′=2sec2(2x−9)
Dengan demikian
y′′=u′v+uv′
y′′=4sec(2x−9)tan(2x−9)tan(2x−9)+2sec(2x−9)2sec2(2x−9)
y′′=4sec(2x−9)tan2(2x−9)+4sec3(2x−9)
Turunan ketiganya diperoleh dari turunan kedua yang diturunkan lagi. Turunan kedua berbentuk y′′=st+w dengan s=4sec(2x−9), t=tan2(2x−9), dan w=4sec3(2x−9).
Didapat
s′=2.4sec(2x−9)tan(2x−9)=8sec(2x−9)tan(2x−9)
t′=2.2tan(2x−9)sec2(2x−9)=4tan(2x−9)sec2(2x−9)
w′=2.3.4sec2(2x−9)sec(2x−9)tan(2x−9)=24sec3(2x−9)tan(2x−9)
Dengan demikian turunan ketiganya yaitu
y(3)=s′t+st′+w′
y(3)=8sec(2x−9)tan3(2x−9)+4sec(2x−9)4tan(2x−9)sec2(2x−9)+24sec3(2x−9)tan(2x−9)
y(3)=8sec(2x−9)tan3(2x−9)+16sec3(2x−9)tan(2x−9)+24sec3(2x−9)tan(2x−9)
y(3)=8sec(2x−9)tan3(2x−9)+40sec3(2x−9)tan(2x−9)