Latihan Matematika Peminatan Kelas XII Mencari Turunan Fungsi Trigonometri
# 5
Pilgan

Jika diketahui fungsi y=sec(2x9)y=\sec(2x-9), maka turunan ketiganya sama dengan ....

A

4sec(2x9)tan2(2x9)+4sec3(2x9)4\sec(2x-9)\tan^2(2x-9)+4\sec^3(2x-9)

B

4sec(2x9)tan2(2x9)+8sec3(2x9)4\sec(2x-9)\tan^2(2x-9)+8\sec^3(2x-9)

C

8sec(2x9)tan3(2x9)+16sec3(2x9)tan(2x9)8\sec(2x-9)\tan^3(2x-9)+16\sec^3(2x-9)\tan(2x-9)

D

8sec(2x9)tan3(2x9)+40sec3(2x9)tan(2x9)8\sec(2x-9)\tan^3(2x-9)+40\sec^3(2x-9)\tan(2x-9)

E

8sec(2x9)tan3(2x9)+56sec3(2x9)tan(2x9)8\sec(2x-9)\tan^3(2x-9)+56\sec^3(2x-9)\tan(2x-9)

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi y=sec(2x9)y=\sec(2x-9)

Ditanya:

Turunan ketiga dari yy ?

Jawab:

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi y=asec(u(x))y=a\sec (u(x)) turunannya adalah y=a.u(x)sec(u(x))tan(u(x))y'=a.u'(x)\sec (u(x))\tan (u(x))

Untuk fungsi y=tan(ax+b)y=\tan (ax+b) turunannya adalah y=asec2(ax+b)y'=a\sec^2\left(ax+b\right)

Untuk fungsi y=asecn(f(x))y=a\sec^n\left(f\left(x\right)\right) turunannya adalah y=a.nsecn1(f(x))sec(f(x))tan(f(x))f(x)y'=a.n\sec^{n-1}\left(f\left(x\right)\right)\sec\left(f\left(x\right)\right)\tan\left(f\left(x\right)\right)f'\left(x\right)

Untuk fungsi y=atann(f(x))y=a\tan^n\left(f\left(x\right)\right) turunannya adalah y=a.ntann1(f(x))sec2(f(x))f(x)y'=a.n\tan^{n-1}\left(f\left(x\right)\right)\sec^2\left(f\left(x\right)\right)f'\left(x\right)

Untuk fungsi y=u.vy=u.v turunannya adalah y=uv+uvy'=u'v+uv'

Untuk fungsi y=f(x)+g(x)y=f\left(x\right)+g\left(x\right) turunannya adalah y=f(x)+g(x)y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)

Diperoleh turunan pertama fungsi yy adalah

y=2sec(2x9)tan(2x9)y'=2\sec(2x-9)\tan(2x-9)

Selanjutnya, untuk mencari turunan keduanya, maka turunan pertamanya diturunkan lagi.

Dimisalkan u=2sec(2x9)u=2\sec\left(2x-9\right) dan v=tan(2x9)v=\tan\left(2x-9\right).

Diperoleh u=4sec(2x9)tan(2x9)u'=4\sec\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right) dan v=2sec2(2x9)v'=2\sec^2\left(2x-9\right)

Dengan demikian

y=uv+uvy''=u'v+uv'

y=4sec(2x9)tan(2x9)tan(2x9)+2sec(2x9)2sec2(2x9)y''=4\sec\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)+2\sec\left(2x-9\right)2\sec^2\left(2x-9\right)

y=4sec(2x9)tan2(2x9)+4sec3(2x9)y''=4\sec\left(2x-9\right)\tan^2\left(2x-9\right)+4\sec^3\left(2x-9\right)

Turunan ketiganya diperoleh dari turunan kedua yang diturunkan lagi. Turunan kedua berbentuk y=st+wy''=st+w dengan s=4sec(2x9)s=4\sec\left(2x-9\right), t=tan2(2x9)t=\tan^2\left(2x-9\right), dan w=4sec3(2x9)w=4\sec^3\left(2x-9\right).

Didapat

s=2.4sec(2x9)tan(2x9)=8sec(2x9)tan(2x9)s'=2.4\sec\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)=8\sec\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)

t=2.2tan(2x9)sec2(2x9)=4tan(2x9)sec2(2x9)t'=2.2\tan\left(2x-9\right)\sec^2\left(2x-9\right)=4\tan\left(2x-9\right)\sec^2\left(2x-9\right)

w=2.3.4sec2(2x9)sec(2x9)tan(2x9)=24sec3(2x9)tan(2x9)w'=2.3.4\sec^2\left(2x-9\right)\sec\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)=24\sec^3\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)

Dengan demikian turunan ketiganya yaitu

y(3)=st+st+wy^{\left(3\right)}=s't+st'+w'

y(3)=8sec(2x9)tan3(2x9)+4sec(2x9)4tan(2x9)sec2(2x9)+24sec3(2x9)tan(2x9)y^{\left(3\right)}=8\sec\left(2x-9\right)\tan^3\left(2x-9\right)+4\sec\left(2x-9\right)4\tan\left(2x-9\right)\sec^2\left(2x-9\right)+24\sec^3\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)

y(3)=8sec(2x9)tan3(2x9)+16sec3(2x9)tan(2x9)+24sec3(2x9)tan(2x9)y^{\left(3\right)}=8\sec\left(2x-9\right)\tan^3\left(2x-9\right)+16\sec^3\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)+24\sec^3\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)

y(3)=8sec(2x9)tan3(2x9)+40sec3(2x9)tan(2x9)y^{\left(3\right)}=8\sec\left(2x-9\right)\tan^3\left(2x-9\right)+40\sec^3\left(2x-9\right)\tan\left(2x-9\right)