Latihan Matematika Peminatan Kelas XII Mencari Turunan Fungsi Trigonometri
# 7
Pilgan

Hasil dydx\frac{dy}{dx} dari ekspresi implisit cot(4x3y)=2x2y2\cot(4x-3y)=2x^2-y^2 adalah ....

A

4csc2(4x3y)+4x3csc2(4x3y)2y\frac{4\csc^2(4x-3y)+4x}{3\csc^2(4x-3y)-2y}

B

4csc2(4x3y)4x3csc2(4x3y)+2y\frac{4\csc^2(4x-3y)-4x}{3\csc^2(4x-3y)+2y}

C

4csc2(4x3y)+4x3csc2(4x3y)+2y\frac{4\csc^2(4x-3y)+4x}{3\csc^2(4x-3y)+2y}

D

4x4csc2(4x3y)3csc2(4x3y)+2y\frac{4x-4\csc^2(4x-3y)}{3\csc^2(4x-3y)+2y}

E

4csc2(4x3y)+4x2y3csc2(4x3y)\frac{4\csc^2(4x-3y)+4x}{2y-3\csc^2(4x-3y)}

Pembahasan:

Diketahui:

Ekspresi implisit cot(4x3y)=2x2y2\cot(4x-3y)=2x^2-y^2

Ditanya:

Turunan pertama terhadap xx dari ekspresi implisit cot(4x3y)=2x2y2\cot(4x-3y)=2x^2-y^2 ?

Jawab:

Secara umum, untuk menentukan turunan pertama suatu ekspresi implisit menggunakan aturan rantai, yaitu:

Jika y=f(t)y=f\left(t\right) dan t=g(x)t=g\left(x\right) sehingga y=h(x)=f(g(x))y=h\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right) maka turunan pertamanya adalah

y=h(x)=f(g(x))g(x)y'=h'\left(x\right)=f'\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)

atau

dydx=dydtdtdx\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}

Perhatikan ruas kiri ekspresi implisit yang diketahui pada soal, yaitu cot(4x3y)\cot(4x-3y)

Misalkan t=4x3yt=4x-3y dan yy dalam xx (atau y=f(x)y=f\left(x\right) ). Akibatnya cot(4x3y)=cott\cot(4x-3y)=\cot t

Akan dicari turunan pertama cot(4x3y)\cot(4x-3y) terhadap xx menggunakan aturan rantai. Diperoleh

Turunan pertama cot(4x3y)=cott\cot(4x-3y)=\cot t terhadap tt adalah csc2t=csc2(4x3y)-\csc^2t=-\csc^2(4x-3y)

Turunan pertama t=4x3yt=4x-3y terhadap xx adalah 43dydx4-3\frac{dy}{dx}

Dengan demikian turunan pertama cot(4x3y)\cot(4x-3y) terhadap xx adalah

csc2(4x3y)(43dydx)=4csc2(4x3y)+3csc2(4x3y)dydx-\csc^2(4x-3y)(4-3\frac{dy}{dx})=-4\csc^2(4x-3y)+3\csc^2(4x-3y)\frac{dy}{dx}

Selanjutnya perhatikan ruas kanan ekspresi implisit yang diketahui pada soal, yaitu 2x2y22x^2-y^2. Karena yy dalam xx (atau y=f(x)y=f\left(x\right) ), maka dengan menggunakan aturan rantai, turunan pertama dari 2x2y22x^2-y^2 adalah 2.2x212y(dydx)=4x2ydydx2.2x^{2-1}-2y(\frac{dy}{dx})=4x-2y\frac{dy}{dx}

Berdasarkan turunan ruas kiri dan turunan ruas kanan yang sudah diperoleh sebelumnya, didapat

4csc2(4x3y)+3csc2(4x3y)dydx=4x2ydydx-4\csc^2(4x-3y)+3\csc^2(4x-3y)\frac{dy}{dx}=4x-2y\frac{dy}{dx}

3csc2(4x3y)dydx+2ydydx=4x+4csc2(4x3y)\Leftrightarrow3\csc^2(4x-3y)\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=4x+4\csc^2(4x-3y)

(3csc2(4x3y)+2y)dydx=4x+4csc2(4x3y)\Leftrightarrow(3\csc^2(4x-3y)+2y)\frac{dy}{dx}=4x+4\csc^2(4x-3y)

dydx=4csc2(4x3y)+4x3csc2(4x3y)+2y\Leftrightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{4\csc^2(4x-3y)+4x}{3\csc^2(4x-3y)+2y}