Diketahui:
Ekspresi implisit cot(4x−3y)=2x2−y2
Ditanya:
Turunan pertama terhadap x dari ekspresi implisit cot(4x−3y)=2x2−y2 ?
Jawab:
Secara umum, untuk menentukan turunan pertama suatu ekspresi implisit menggunakan aturan rantai, yaitu:
Jika y=f(t) dan t=g(x) sehingga y=h(x)=f(g(x)) maka turunan pertamanya adalah
y′=h′(x)=f′(g(x))g′(x)
atau
dxdy=dtdydxdt
Perhatikan ruas kiri ekspresi implisit yang diketahui pada soal, yaitu cot(4x−3y)
Misalkan t=4x−3y dan y dalam x (atau y=f(x) ). Akibatnya cot(4x−3y)=cott
Akan dicari turunan pertama cot(4x−3y) terhadap x menggunakan aturan rantai. Diperoleh
Turunan pertama cot(4x−3y)=cott terhadap t adalah −csc2t=−csc2(4x−3y)
Turunan pertama t=4x−3y terhadap x adalah 4−3dxdy
Dengan demikian turunan pertama cot(4x−3y) terhadap x adalah
−csc2(4x−3y)(4−3dxdy)=−4csc2(4x−3y)+3csc2(4x−3y)dxdy
Selanjutnya perhatikan ruas kanan ekspresi implisit yang diketahui pada soal, yaitu 2x2−y2. Karena y dalam x (atau y=f(x) ), maka dengan menggunakan aturan rantai, turunan pertama dari 2x2−y2 adalah 2.2x2−1−2y(dxdy)=4x−2ydxdy
Berdasarkan turunan ruas kiri dan turunan ruas kanan yang sudah diperoleh sebelumnya, didapat
−4csc2(4x−3y)+3csc2(4x−3y)dxdy=4x−2ydxdy
⇔3csc2(4x−3y)dxdy+2ydxdy=4x+4csc2(4x−3y)
⇔(3csc2(4x−3y)+2y)dxdy=4x+4csc2(4x−3y)
⇔dxdy=3csc2(4x−3y)+2y4csc2(4x−3y)+4x