Diketahui:

Posisi awal $r_0=0i+0j=0$

Kecepatan awal $v_0=\left(3i+7j\right)$ m/s

Persamaan percepatan terhadap t $a\left(t\right)=\left(\left(3t^4\right)i+\left(4+10t^2\right)j\right)$ m/s²

Waktu t = 2 s

Ditanya:

Posisi partikel saat 2 detik $r\left(2\right)$ = ?

Jawab:

Percepatan merupakan perubahan kecepatan yang dialami oleh partikel tiap selang waktu tertentu.

$a\ =\frac{\Delta v}{\Delta t}$

Karena perubahan kecepatan dianggap sangat kecil, maka kecepatan tersebut diturunkan terhadap waktu sehingga persamaannya menjadi

$a=\frac{dv}{dt}$

Dari persamaan tersebut, kita dapat menentukan persamaan kecepatan, selanjutnya menentukan persamaan posisi melalui integral.

1) Menentukan persamaan kecepatan

$a=\frac{dv}{dt}$

$dv=a\ dt$

$\int_{v_0}^v\ dv=\int a\ dt$

$v\ |_{v_0}^v=\int a\ dt$

$v\ -v_0=\int a\ dt$

$v\ =v_0+\int a\ dt$

$v\left(t\right)=v_0+\int a\left(t\right)\ dt$

$v\left(t\right)=\left(3i+7j\right)+\int\left(\left(3t^4\right)i+\left(4+10t^2\right)j\right)\ dt$

$v\left(t\right)=\left(3i+7j\right)+\left(\frac{3}{5}t^5\right)i+\left(4t+\frac{10}{3}t^3\right)j\$

$v\left(t\right)=\left(\left(3+\frac{3}{5}t^5\right)i+\left(4t+\frac{10}{3}t^3+7\right)j\right)$m/s

2) Menentukan persamaan posisi

Kecepatan adalah perubahan posisi yang dialami partikel tiap selang waktu tertentu

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu sehingga persamaannya menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

Selanjutnya, kita gunakan integral untuk menentukan persamaan posisi

$v=\frac{dr}{dt}\$

$dr=v\ dt\$

$\int_{r_0}^rdr=\int v\ dt\$

$r|_{r_0}^r=\int v\ dt\$

$r-r_0=\int v\ dt\$

$r=r_0+\int v\ dt\$

$r\left(t\right)=r_0+\int v\left(t\right)\ dt$

$r\left(t\right)=0+\int\left(\left(3+\frac{3}{5}t^5\right)i+\left(4t+\frac{10}{3}t^3+7\right)j\right)\ dt$

$r\left(t\right)=0+\left(3t+\frac{3}{5\left(6\right)}t^6\right)i+\left(\frac{4}{2}t^2+\frac{10}{3\left(4\right)}t^4+7t\right)j$

$r\left(t\right)=\left(3t+\frac{3}{30}t^6\right)i+\left(2t^2+\frac{10}{12}t^4+7t\right)j$

$r\left(t\right)=\left(3t+\frac{1}{10}t^6\right)i+\left(2t^2+\frac{5}{6}t^4+7t\right)j$

Persamaan posisi pada saat 2 detik

$r\left(2\right)=\left(3\left(2\right)+\frac{1}{10}\left(2\right)^6\right)i+\left(2\left(2\right)^2+\frac{5}{6}\left(2\right)^4+7\left(2\right)\right)j$

$r\left(2\right)=\left(6+\frac{64}{10}\right)i+\left(8+\frac{40}{3}+14\right)j$

$r\left(2\right)=\left(6+6,4\right)i+\left(8+13,3+14\right)j$

$r\left(2\right)=\left(\left(12,4\right)i+\left(35,3\right)j\right)$ m

Jadi, persamaan posisi partikel saat 2 detik adalah $\left(\left(12,4\right)i+\left(35,3\right)j\right)$ m.