Diketahui:

Persamaan posisi $r\left(t\right)=\left(\left(6t-4t^2\right)i-\left(7+8t^2\right)j\right)$ m

Ditanya:

Persamaan kecepatan terhadap waktu $v\left(t\right)$ = ?

Jawab:

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel setiap selang waktu tertentu, $v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu dan persamaannya menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

$v\left(t\right)=\frac{dr\left(t\right)}{dt}$

$v\left(t\right)=\frac{d\left(\left(6t-4t^2\right)i-\left(7+8t^2\right)j\right)}{dt}$ *rumus turunan yaitu  (n adalah angka, t adalah variabel)

$v\left(t\right)=\left(6-8t\right)i-16t\ j$

Jadi, persamaan kecepatan terhadap waktu adalah $v\left(t\right)=\left(\left(6-8t\right)i-16t\ j\right)$ m/s.

Diketahui:

Persamaan posisi $x$ $r_x=\left(\left(3t-7\right)i\right)$ m

Persamaan posisi $y$ $r_y=\left(4t^2j\right)$ m

Persamaan posisi $z$ $r_z=\left(\left(8t^4-t\right)k\right)$ m

Waktu t = 1 s

Ditanya:

Persamaan kecepatan saat 1 detik $v\left(1\right)$ = ?

Jawab:

Dengan menggabungkan ketiga komponen posisi, diperoleh persamaan posisi sebagai berikut

$r\left(t\right)=r_x+r_y+r_z$

$r\left(t\right)=\left(3t-7\right)i+4t^2j+\left(8t^4-t\right)k$

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel dalam selang waktu tertentu

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

$v\left(t\right)=\frac{dr\left(t\right)}{dt}$

$v\left(t\right)=\frac{d\left(\left(3t-7\right)i+4t^2j+\left(8t^4-t\right)k\right)}{dt}$

$v\left(t\right)=3i+8tj+\left(32t^3-1\right)k$

Persamaan kecepatan saat 1 detik adalah

$v\left(t\right)=3i+8tj+\left(32t^3-1\right)k\$

$v\left(1\right)=3i+8\left(1\right)j+\left(32\left(1\right)^3-1\right)k\$

$v\left(1\right)=3i+8j+\left(32-1\right)k\$

$v\left(1\right)=\left(3i+8j+31k\ \right)$ m/s

Jadi, persamaan kecepatan partikel saat 1 detik adalah $v\left(1\right)=\left(3i+8j+31k\right)$ m/s.

Diketahui:

Persamaan lintasan/posisi $r\left(t\right)=\left(\left(7-8t^2\right)i+\left(3t^2\right)j\right)$ m

Waktu t = 8 s

Ditanya:

Koordinat posisi $\left(r_x;\ r_y\right)$ = ?

Jawab:

Persamaan posisi adalah fungsi dari suatu partikel saat bergerak berdasarkan waktu.

Berdasarkan soal di atas, untuk menentukan koordinat posisi, maka tentukan terlebih dahulu persamaan posisi saat waktu 8 detik dengan memasukkan nilai t pada persamaan. Vektor i berada pada sumbu-$X$ dan vektor j berada pada sumbu-$Y$.

$r\left(t\right)=\left(7-8t^2\right)i+\left(3t^2\right)j$

$r\left(8\right)=\left(7-8\left(8\right)^2\right)i+\left(3\left(8\right)^2\right)j\$

$r\left(8\right)=\left(7-8\left(64\right)\right)i+\left(3\left(64\right)\right)j\$

$r\left(8\right)=\left(7-512\right)i+\left(192\right)j\$

$r\left(8\right)=\left(-505i+192j\right)$ m

Jadi, koordinat posisinya adalah (−505 ; 192) m.

Diketahui:

Persamaan posisi $r\left(t\right)=\left(\left(2t^2+4t^5\right)i+\left(5t-3\right)j\right)$ m

Waktu awal $t_1=2$ s

Waktu akhir $t_2=5$ s

Ditanya:

Persamaan percepatan rata-rata yang dialami meteor pada waktu 2 detik hingga 5 detik $\overline{a}$ = ?

Jawab:

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel dalam selang waktu tertentu

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil maka posisi diturunkan terhadap waktu menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

$v\left(t\right)=\frac{d\left(\left(2t^2+4t^5\right)i+\left(5t-3\right)j\right)}{dt}$

$v\left(t\right)=\left(\left(4t+20t^4\right)i+\left(5\right)j\right)$ m/s

Persamaan kecepatan pada saat 2 detik

$v\left(2\right)=\left(4\left(2\right)+20\left(2\right)^4\right)i+\left(5\right)j\$

$v\left(2\right)=\left(8+320\right)i+\left(5\right)j\$

$v\left(2\right)=\left(400\right)i+\left(5\right)j\$ m/s

Persamaan kecepatan pada saat 5 detik

$v\left(5\right)=\left(4\left(5\right)+20\left(5\right)^4\right)i+\left(5\right)j$

$v\left(5\right)=\left(20+12.500\right)i+\left(5\right)j$

$v\left(5\right)=\left(\left(12.520\right)i+\left(5\right)j\right)$ m/s

Dari persamaan kecepatan tersebut, kita dapat mencari persamaan percepatan rata-rata. Percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan yang dialami partikel dalam selang waktu tertentu.

$\overline{a}\ =\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$

$\overline{a}\ =\frac{v\left(5\right)-v\left(2\right)}{t_2-t_1}$

$\overline{a}\ =\frac{\left(12.520i+5j\right)-\left(400i+5j\right)}{5-2}$

$\overline{a}\ =\frac{\left(12.520i+400i\right)+\left(5j-5j\right)}{3}$

$\overline{a}\ =\frac{12.120i+0}{3}$

$\overline{a}\ =\frac{12.120i}{3}$

$\overline{a}\ =4.040i$

Jadi, persamaan percepatan rata-rata yang dialami meteor pada waktu 2 detik hingga 5 detik adalah $4.040\ i$ m/s².

Diketahui:

Posisi awal $r_0$ = (0 ; 0)

Komponen kecepatan $x$ $v_x=\left(\left(2t^2+5\right)i\right)$ m/s

Komponen kecepatan $y$ $v_y=\left(\left(7t\right)j\right)$ m/s

Waktu t = 2 s

Ditanya:

Besar posisi saat 2 detik $\left|r\right|=?$

Jawab:

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel tiap selang waktu tertentu.

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

Selanjutnya, untuk mencari persamaan posisi, maka kita dapat menggunakan integral seperti berikut ini.

$dr=v\ dt\$

$\int_{r_0}^rdr=\int v\ dt\$

$r|_{r_0}^r=\int v\ dt\$

$r-r_0=\int v\ dt\$

$r=r_0+\int v\ dt\$

Komponen kecepatan pada soal di atas adalah

$v\left(t\right)=v_x+v_y$

$v\left(t\right)=\left(2t^2+5t\right)i+\left(7t\right)j$

Sehingga, persamaan posisinya adalah

$r(t)=r_0+\int v\left(t\right)\ dt$

$r(t)=0+\int\left(\left(2t^2+5\right)i+\left(7t\right)j\right)\ dt$

$r\left(t\right)=\left(\frac{2t^3}{3}+5t\right)i+\left(\frac{7t^2}{2}\right)j\$

Persamaan posisi pada saat 2 detik menjadi:

$r\left(t\right)=\left(\frac{2t^3}{3}+5t\right)i+\left(\frac{7t^2}{2}\right)j\$

$r\left(2\right)=\left(\frac{2\left(2\right)^3}{3}+5\left(2\right)\right)i+\left(\frac{7\left(2\right)^2}{2}\right)j\$

$r\left(2\right)=\left(\frac{\left(2\right)8}{3}+10\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(\frac{16}{3}+10\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(\frac{16+30}{3}\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(\frac{46}{3}\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(15,33\right)i+\left(14\right)j\ \$

Besar posisi saat 2 detik adalah

$\left|r\right|=\sqrt{r_x^2+r_y^2}$

$=\sqrt{15,33^2+14^2}$

$=\sqrt{235,0089+196}$

$=\sqrt{431,0089}$

$=20,8$ m

Jadi, besar posisi lebah saat 2 detik adalah 20,8 m.

Diketahui:

Persamaan posisi $r\left(t\right)=\left(\left(2t+4t^2\right)i-\left(7-8t\right)j\right)$ m

Waktu awal t₁ = 1 s

Waktu akhir t₂ = 2 s

Ditanya:

Besar perpindahan dari 1 detik hingga 4 detik $\left|\Delta r\right|=?$

Jawab:

Persamaan posisi awal pada saat 1 detik adalah

$r_1=r\left(1\right)=\left(2\left(1\right)+4\left(1\right)^2\right)i-\left(7-8\left(1\right)\right)j$

$r_1=r\left(1\right)=\left(2+4\right)i-\left(7-8\right)j$

$r_1=r\left(1\right)=6i-\left(-1\right)j$

$r_1=r\left(1\right)=6i+1j$ m

Persamaan posisi akhir pada saat 4 detik adalah

$r_2=r\left(4\right)=\left(2t+4t^2\right)i-\left(7-8t\right)j$

$r_2=r\left(4\right)=\left(2\left(4\right)+4\left(4\right)^2\right)i-\left(7-8\left(4\right)\right)j$

$r_2=r\left(4\right)=\left(8+64\right)i-\left(7-32\right)j$

$r_2=r\left(4\right)=72i-\left(-25\right)j$

$r_2=r\left(4\right)=72i+25j$

Perpindahan merupakan perubahan posisi suatu partikel dari posisi awal ke posisi akhir

$\Delta r=r_2-r_1$

$\Delta r=\left(72i+25j\right)-\left(6i+1j\right)$

$\Delta r=\left(72i-6i\right)+\left(25j-1j\right)$

$\Delta r=66i+24j$

Besar perpindahan dapat dicari dengan menggunakan persamaan

$\left|\Delta r\right|=\sqrt{r_x^2+r_y^2}$

$=\sqrt{66^2+24^2}$

$=\sqrt{4.356+576}$

$=\sqrt{4.932}$

$=70,23$ m

Jadi, besar perpindahan dari 1 detik hingga 4 detik adalah 70,23 m.

Diketahui:

Percepatan pada komponen $x$ $a_x=4ti$

Percepatan pada komponen $y$ $a_y=\left(3t+1\right)j$

Waktu t = 5 s

Ditanya:

Percepatan saat 5 detik $a\left(5\right)$ = ?

Jawab:

Persamaan kecepatan pada saat $t$ dapat dituliskan dengan menggabungkan percepatan pada komponen $x$ dan $y$ terhadap waktu.

$a\left(t\right)=a_x+a_y$

$a\left(t\right)=4ti+\left(3t+1\right)j$

Kemudian substitusi nilai t kedalam persamaan di atas.

$a\left(t\right)=4ti+\left(3t+1\right)j$

$a\left(5\right)=4\left(5\right)i+\left(3\left(5\right)+1\right)j$

$a\left(5\right)=20i+\left(15+1\right)j$

$a\left(5\right)=20i+16j$

Jika diubah menjadi titik koordinat, maka 20 adalah komponen x karena memiliki satuan i dan 16 adalah komponen y karena memiliki satuan j. 

Jadi, tititk koordinat percepatan saat 5 detik adalah (20; 16) m/s².

Diketahui:

Posisi awal $r_0=0i+0j=0$

Kecepatan awal $v_0=\left(3i+7j\right)$ m/s

Persamaan percepatan terhadap t $a\left(t\right)=\left(\left(3t^4\right)i+\left(4+10t^2\right)j\right)$ m/s²

Waktu t = 2 s

Ditanya:

Posisi partikel saat 2 detik $r\left(2\right)$ = ?

Jawab:

Percepatan merupakan perubahan kecepatan yang dialami oleh partikel tiap selang waktu tertentu.

$a\ =\frac{\Delta v}{\Delta t}$

Karena perubahan kecepatan dianggap sangat kecil, maka kecepatan tersebut diturunkan terhadap waktu sehingga persamaannya menjadi

$a=\frac{dv}{dt}$

Dari persamaan tersebut, kita dapat menentukan persamaan kecepatan, selanjutnya menentukan persamaan posisi melalui integral.

1) Menentukan persamaan kecepatan

$a=\frac{dv}{dt}$

$dv=a\ dt$

$\int_{v_0}^v\ dv=\int a\ dt$

$v\ |_{v_0}^v=\int a\ dt$

$v\ -v_0=\int a\ dt$

$v\ =v_0+\int a\ dt$

$v\left(t\right)=v_0+\int a\left(t\right)\ dt$

$v\left(t\right)=\left(3i+7j\right)+\int\left(\left(3t^4\right)i+\left(4+10t^2\right)j\right)\ dt$

$v\left(t\right)=\left(3i+7j\right)+\left(\frac{3}{5}t^5\right)i+\left(4t+\frac{10}{3}t^3\right)j\$

$v\left(t\right)=\left(\left(3+\frac{3}{5}t^5\right)i+\left(4t+\frac{10}{3}t^3+7\right)j\right)$m/s

2) Menentukan persamaan posisi

Kecepatan adalah perubahan posisi yang dialami partikel tiap selang waktu tertentu

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu sehingga persamaannya menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

Selanjutnya, kita gunakan integral untuk menentukan persamaan posisi

$v=\frac{dr}{dt}\$

$dr=v\ dt\$

$\int_{r_0}^rdr=\int v\ dt\$

$r|_{r_0}^r=\int v\ dt\$

$r-r_0=\int v\ dt\$

$r=r_0+\int v\ dt\$

$r\left(t\right)=r_0+\int v\left(t\right)\ dt$

$r\left(t\right)=0+\int\left(\left(3+\frac{3}{5}t^5\right)i+\left(4t+\frac{10}{3}t^3+7\right)j\right)\ dt$

$r\left(t\right)=0+\left(3t+\frac{3}{5\left(6\right)}t^6\right)i+\left(\frac{4}{2}t^2+\frac{10}{3\left(4\right)}t^4+7t\right)j$

$r\left(t\right)=\left(3t+\frac{3}{30}t^6\right)i+\left(2t^2+\frac{10}{12}t^4+7t\right)j$

$r\left(t\right)=\left(3t+\frac{1}{10}t^6\right)i+\left(2t^2+\frac{5}{6}t^4+7t\right)j$

Persamaan posisi pada saat 2 detik

$r\left(2\right)=\left(3\left(2\right)+\frac{1}{10}\left(2\right)^6\right)i+\left(2\left(2\right)^2+\frac{5}{6}\left(2\right)^4+7\left(2\right)\right)j$

$r\left(2\right)=\left(6+\frac{64}{10}\right)i+\left(8+\frac{40}{3}+14\right)j$

$r\left(2\right)=\left(6+6,4\right)i+\left(8+13,3+14\right)j$

$r\left(2\right)=\left(\left(12,4\right)i+\left(35,3\right)j\right)$ m

Jadi, persamaan posisi partikel saat 2 detik adalah $\left(\left(12,4\right)i+\left(35,3\right)j\right)$ m.

Diketahui:

Komponen percepatan $x$ $a_x=\left(2i\right)$ m/s²

Komponen percepatan $y$ $a_y=\left(\left(2t+1\right)j\right)$ m/s²

Kecepatan awal $v_0$ = (0; 2) m/s

Waktu t = 3 detik

Ditanya:

Titik koordinat kecepatan pada saat 3 detik $\left(v_x;\ v_y\right)$ = ?

Jawab:

Kecepatan awal adalah kecepatan benda pada saat mulai bergerak. Berdasarkan soal, kecepatan awal dalam bentuk koordinat, yang mana 0 adalah komponen x dan 2 adalah komponen y. Jika dibuat dalam sebuah persamaan menjadi

$v_0=0i+2j$

$v_0=2j$

Percepatan adalah perubahan kecepatan yang dialami partikel dalam selang waktu tertentu

$a\ =\frac{\Delta v}{\Delta t}$

Karena perubahan kecepatan dianggap sangat kecil, maka kecepatan diturunkan terhadap waktu menjadi

$a=\frac{dv}{dt}$

Dengan menggabungkan komponen $x$ dan $y$ diperoleh persamaan percepatan

$a\left(t\right)=a_x+a_y$

$a\left(t\right)=2i+\left(2t+1\right)j$

Untuk mencari persamaan kecepatan pada saat $t$, persamaan percepatan di atas kita integralkan menjadi

$a=\frac{dv}{dt}$

$dv=a\ dt$

$\int_{v_0}^v\ dv=\int a\ dt$

$v\ |_{v_0}^v=\int a\ dt$

$v\ -v_0=\int a\ dt$

$v\ =v_0+\int a\ dt$

$v\left(t\right)\ =v_0+\int a\ dt$

$v\left(t\right)\ =v_0+\int a\left(t\right)\ dt$

$v\left(t\right)\ =2j+\int\left(2i+\left(2t+1\right)j\right)\ dt$

$v\left(t\right)\ =2j+\left(2t\ i+\left(\frac{2t^2}{2}+1t\right)j\right)$

$v\left(t\right)\ =2j+\left(2t\ i+\left(t^2+t\right)j\right)$

$v\left(t\right)\ =2t\ i+\left(t^2+t+2\right)j$

Persamaan kecepatan pada saat 3 detik

$v\left(t\right)\ =2t\ i+\left(t^2+t+2\right)j$

$v\left(3\right)\ =2\left(3\right)\ i+\left(\left(3\right)^2+3+2\right)j$

$v\left(3\right)\ =6\ i+\left(9+5\right)j$

$v\left(3\right)\ =\left(6\ i+14j\right)$ m/s

Diperoleh bahwa 6 adalah komponen x dan 14 adalah komponen y karena dilihat dari satuannya yaitu masing-masing i dan j.

Jadi, titik koordinat kecepatan pada saat 3 detik adalah (6; 14) m/s.

Diketahui:

Kecepatan komponen $x$ $v_x=\left(\left(3t^3-2t\right)i\right)$ m/s

Kecepatan komponen $y$ $v_y=\left(\left(5t^2-4\right)j\right)$ m/s

Waktu t = 5 s

Ditanya:

Persamaan percepatan saat 5 detik $a\left(5\right)$ = ?

Jawab:

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel tiap selang waktu tertentu

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

Persamaan kecepatan dapat ditulis dengan menggabungkan komponen kecepatan $x$ dan $y$

$v\left(t\right)=v_x+v_y$

$v\left(t\right)=\left(3t^3-2t\right)i+\left(5t^2-4\right)j$

Dari persamaan kecepatan, kita dapat mencari persamaan percepatan. Percepatan adalah perubahan kecepatan suatu partikel tiap selang waktu tertentu. Karena perubahan kecepatan dianggap sangat kecil, maka kecepatan diturunkan terhadap waktu menjadi

$a\left(t\right)=\frac{dv}{dt}$

$a\left(t\right)=\frac{d\left(\left(3t^3-2t\right)i+\left(5t^2-4\right)j\right)}{dt}$

$a\left(t\right)=\left(\left(9t^2-2\right)i+\left(10t\right)j\right)$ m/s²

Persamaan percepatan pada saat 5 detik adalah

$a\left(t\right)=\left(9t^2-2\right)i+\left(10t\right)j$

$a\left(5\right)=\left(9\left(5\right)^2-2\right)i+\left(10\left(5\right)\right)j$

$a\left(5\right)=\left(225-2\right)i+\left(50\right)j$

$a\left(5\right)=\left(223i+50j\right)$ m/s²

Jadi, persamaan percepatan saat 5 detik adalah $\left(223i+50j\right)$ m/s².