Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{-2x+8}{6x-1}\ge0$ . . . (*)

Ditanya:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan rasional linear. Perlu diingat pertidaksamaan rasional linear mempunyai bentuk umum

$\frac{ax+b}{cx+d}<n,\ \frac{ax+b}{cx+d}\le n,\ \frac{ax+b}{cx+d}>,$ atau $\frac{ax+b}{cx+d}\ge n$

dengan $a,\ b,\ c,\ d,\text{ dan }n$ merupakan bilangan.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional linear adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*), didapat

$\frac{-2x+8}{6x-1}=0$ . . . (**)

Untuk pembilang diperoleh

$-2x+8=0$

$\Leftrightarrow8=2x$

$\Leftrightarrow\frac{8}{2}=x$

$\Leftrightarrow4=x$

Untuk penyebut diperoleh

$6x-1=0$

$\Leftrightarrow6x=1$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}$

Karena $x=\frac{1}{6}$ diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka $x=\frac{1}{6}$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*).

Untuk $x<\frac{1}{6}$, diambil sebagai sampel $x=0$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\frac{-2.0+8}{6.0-1}=\frac{0+8}{0-1}=\frac{8}{-1}=-8<0$ (bernilai negatif).

Untuk $\frac{1}{6}<x<4$, diambil sebagai sampel $x=1$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\frac{-2.1+8}{6.1-1}=\frac{-2+8}{6-1}=\frac{6}{5}>0$ (bernilai positif).

Untuk $x>4$, diambil sebagai sampel $x=5$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\frac{-2.5+8}{6.5-1}=\frac{-10+8}{30-1}=\frac{-2}{29}<0$ (bernilai negatif).

Pengecekan ketiga kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan (*) memiliki tanda $\ge$. Artinya nilai $x$ yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai positif.

Karena pertidaksamaan (*) memuat sama dengan, maka $x=4$ memenuhi pertidaksamaan (*). Jadi semua nilai $x$ yang memenuhi adalah $\left\{x\mid\frac{1}{6}<x\le4\right\}$