Bank Soal Fisika SMA Besaran pada Gerak Parabola dengan Vektor

Diketahui:

Posisi awal $r_0$ = (0 ; 0)

Komponen kecepatan $x$ $v_x=\left(\left(2t^2+5\right)i\right)$ m/s

Komponen kecepatan $y$ $v_y=\left(\left(7t\right)j\right)$ m/s

Waktu t = 2 s

Ditanya:

Besar posisi saat 2 detik $\left|r\right|=?$

Jawab:

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel tiap selang waktu tertentu.

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

Selanjutnya, untuk mencari persamaan posisi, maka kita dapat menggunakan integral seperti berikut ini.

$dr=v\ dt\$

$\int_{r_0}^rdr=\int v\ dt\$

$r|_{r_0}^r=\int v\ dt\$

$r-r_0=\int v\ dt\$

$r=r_0+\int v\ dt\$

Komponen kecepatan pada soal di atas adalah

$v\left(t\right)=v_x+v_y$

$v\left(t\right)=\left(2t^2+5t\right)i+\left(7t\right)j$

Sehingga, persamaan posisinya adalah

$r(t)=r_0+\int v\left(t\right)\ dt$

$r(t)=0+\int\left(\left(2t^2+5\right)i+\left(7t\right)j\right)\ dt$

$r\left(t\right)=\left(\frac{2t^3}{3}+5t\right)i+\left(\frac{7t^2}{2}\right)j\$

Persamaan posisi pada saat 2 detik menjadi:

$r\left(t\right)=\left(\frac{2t^3}{3}+5t\right)i+\left(\frac{7t^2}{2}\right)j\$

$r\left(2\right)=\left(\frac{2\left(2\right)^3}{3}+5\left(2\right)\right)i+\left(\frac{7\left(2\right)^2}{2}\right)j\$

$r\left(2\right)=\left(\frac{\left(2\right)8}{3}+10\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(\frac{16}{3}+10\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(\frac{16+30}{3}\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(\frac{46}{3}\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(15,33\right)i+\left(14\right)j\ \$

Besar posisi saat 2 detik adalah

$\left|r\right|=\sqrt{r_x^2+r_y^2}$

$=\sqrt{15,33^2+14^2}$

$=\sqrt{235,0089+196}$

$=\sqrt{431,0089}$

$=20,8$ m

Jadi, besar posisi lebah saat 2 detik adalah 20,8 m.