Bank Soal Matematika SMA Ukuran Penyebaran Data

Diketahui:

$\Sigma_{i=1}^k=2+4+8+12+10+4=40$

Ditanya:

Variansi $=\sigma^2=?$

Jawab:

Simpangan rata-rata dari data berkelompok dapat dihitung dengan rumus

$\sigma^2=\frac{\Sigma_{i=1}^kf_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{\Sigma_{i=1}^kf_i}$

dengan

$x_i=$ nilai tengah kelas ke-$i$

$\overline{x}=$ rata-rata

$f_i=$ frekuensi kelas ke-$i$

Oleh karena itu, kita harus menemukan rata-ratanya terlebih dahulu.

Menghitung rata-rata.

Rata-rata data berkelompok dapat ditemukan dengan

$\overline{x}=\frac{\Sigma_{i=1}^kx_if_i}{\Sigma_{i=1}^kf_i}$

dengan $x_i$ adalah nilai tengah kelas ke$-i$ dan $f_i$ adalah frekuensi kelas ke$-i$.

Menemukan nilai tengah.

Nilai tengah kelas ke-1 adalah $x_1=\frac{141+145}{2}=\frac{286}{2}=143$

Nilai tengah kelas ke-2 adalah $x_2=\frac{146+150}{2}=\frac{296}{2}=148$

Nilai tengah kelas ke-3 adalah $x_3=\frac{151+155}{2}=\frac{306}{2}=153$

Nilai tengah kelas ke-4 adalah $x_4=\frac{156+160}{2}=\frac{316}{2}=158$

Nilai tengah kelas ke-5 adalah $x_5=\frac{161+165}{2}=\frac{326}{2}=163$

Nilai tengah kelas ke-6 adalah $x_6=\frac{166+170}{2}=\frac{336}{2}=168$

$\overline{x}=\frac{\Sigma_{i=1}^kx_if_i}{\Sigma_{i=1}^kf_i}$

$\Leftrightarrow\overline{x}=\frac{143⋅2+148⋅4+153⋅8+158⋅12+163⋅10+168⋅4}{40}$

$\Leftrightarrow\overline{x}=\frac{286+592+1.224+1.896+1.630+672}{40}$

$\Leftrightarrow\overline{x}=\frac{6.300}{40}$

$\Leftrightarrow\overline{x}=157,5$

Menghitung Variansi

$\sigma^2=\frac{\Sigma_{i=1}^kf_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{\Sigma_{i=1}^kf_i}$

$\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{2⋅\left(143-157,5\right)^2+4⋅\left(148-157,5\right)^2+8⋅\left(153-157,5\right)^2+12⋅\left(158-157,5\right)^2+10⋅\left(163-157,5\right)^2+4⋅\left(168-157,5\right)^2}{40}$

$\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{2⋅\left(-14,5\right)^2+4⋅\left(-9,5\right)^2+8⋅\left(-4,5\right)^2+12⋅\left(0,5\right)^2+10⋅\left(5,5\right)^2+4⋅\left(10,5\right)^2}{40}$

$\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{2\left(210,25\right)+4\left(90,25\right)+8\left(20,25\right)+12\left(0,25\right)+10\left(30,25\right)+4\left(110,25\right)}{40}$

$\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{420,5+361+162+3+302,5+441}{40}$

$\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{1.690}{40}$

$\Leftrightarrow\sigma^2=42,25$

atau dapat disajikan dalam tabel berikut ini.

Jadi, variansi dari data tersebut adalah 42,25.