Diketahui:

Fungsi $y=\cos x-17$ dengan $0\degree\le x\le360\degree$

Ditanya:

Subinterval di dalam $0\degree\le x\le360\degree$ yang membuat kurva $y$ selalu turun?

Jawab:

Diberikan fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam interval $I$ dengan $f\left(x\right)$ diferensiabel untuk setiap $x\in I$ berlaku

1. jika $f'\left(x\right)>0$ untuk setiap $x\in I$, maka kurva $f\left(x\right)$ selalu naik pada interval $I$
2. jika $f'\left(x\right)<0$ untuk setiap $x\in I$, maka kurva $f\left(x\right)$ selalu turun pada interval $I$
3. jika $f'\left(x\right)=0$ untuk setiap $x\in I$, maka kurva $f\left(x\right)$ stasioner (diam) pada interval $I$
4. jika $f'\left(x\right)\ge0$ untuk setiap $x\in I$, maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah turun pada interval $I$
5. jika $f'\left(x\right)\le0$ untuk setiap $x\in I$, maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah naik pada interval $I$

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=a$ dengan $a$ suatu konstanta turunannya adalah $y'=0$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Pada soal diketahui fungsi $y=\cos x-17$ dengan $0\degree\le x\le360\degree$. Turunan pertamanya adalah $y'=-\sin x$. Pembuat nol dari $y'$ adalah

$y'=0$

$\Leftrightarrow-\sin x=0$

$\Leftrightarrow\sin x=\sin0\degree$

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\sin\left(ax+b\right)=\sin\theta$ adalah $ax+b=\theta+k.360\degree$ atau $ax+b=\left(180\degree-\theta\right)+k.360\degree$ sehingga untuk $\sin x=\sin0$ didapat

$x=0\degree+k.360\degree=k.360\degree$

untuk $k=0$ didapat $x=0.360\degree=0\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ didapat $x=1.360\degree=360\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

atau

$x=\left(180\degree-0\degree\right)+k.360\degree=180\degree+k.360\degree$

untuk $k=0$ didapat $x=180\degree+0.360\degree=180\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ didapat $x=180\degree+1.360\degree=540\degree$ tidak memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

Artinya, pembuat nol dari $y'$ adalah $x=\left\{0\degree, 180\degree, 360\degree\right\}$. Selanjutnya, cek nilai dari $y'$ untuk setiap subinterval yang terbentuk.

Untuk subinterval $0\degree\le x<180\degree$ dipilih $x=90\degree$ didapat

$y'=-\sin 90\degree=-1$ (negatif).

Untuk subinterval yang lain dicari dengan cara yang sama, sehingga diperoleh

yang diminta pada soal subinterval yang membuat kurva $y$ selalu turun atau dengan kata lain $y'<0$ (negatif). Kemudian akan dicari nilai $y'$ untuk $x=0\degree$ dan $x=360\degree$ didapat

$y'=-\sin 0\degree=0$ (netral)

$y'=-\sin 360\degree=0$ (netral)

Jadi subinterval di dalam $0\degree\le x\le360\degree$ yang membuat kurva $y=\cos x-17$ selalu turun adalah $0\degree< x<180\degree$