Diketahui:

Fungsi $f(x)=3\sec x\cot x$ dan kurva $y=f\left(x\right)$

Ditanya:

Persamaan garis singgung pada kurva $y=f\left(x\right)$ di titik $(30\degree, 6)$ ?

Jawab:

Nilai kemiringan / gradien garis singgung suatu kurva $f\left(x\right)$ dapat dicari menggunakan turunan yaitu

$m=f'\left(x\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

sehingga persamaan garis singgung pada kurva $f\left(x\right)$ di titik $\left(x_1,\ y_1\right)$ adalah

$y-y_1=f'\left(x_1\right)\left(x-x_1\right)$

Pertama akan dicari turunan pertama fungsi $f\left(x\right)$.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sec x$ turunannya adalah $y'=\sec x\tan x$

Untuk fungsi $y=\cot x$ turunannya adalah $y'=-\csc^2 x$

Untuk fungsi $y=u.v$ turunannya adalah $y'=u'v+uv'$

Kurva yang diketahui pada soal berbentuk $g(x)=u.v$ dengan $u=3\sec x$ dan $v=\cot x$

Diperoleh

$u'=3\sec x\tan x$

$v'=-\csc^2 x$

Dengan demikian

$f'\left(x\right)=u'v+uv'$

$\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3\sec x\tan x\cot x+3\sec x(-\csc^2 x)$

$\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3\sec x\tan x\cot x-3\sec x\csc^2 x$

Perlu diingat bahwa $\tan x\cot x=1$, $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, dan $\csc x=\frac{1}{\sin x}$, sehingga didapat

$f'\left(x\right)=3\sec x(1-\csc^2 x)$

$\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3\frac{1}{\cos x}(1-\frac{1}{\sin^2 x})$

dan gradien garis singgung pada kurva $y=f\left(x\right)$ di titik $(30\degree, 6)$ adalah

$m=f'\left(30\degree\right)$

$\Leftrightarrow m=3\frac{1}{\cos 30\degree}(1-\frac{1}{\sin^2 30\degree})$

$\Leftrightarrow m=3\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt3}(1-\frac{1}{(\frac{1}{2})^2})$

$\Leftrightarrow m=3\frac{2\sqrt3}{\sqrt3\sqrt3}(1-\frac{1}{\frac{1}{4}})$

$\Leftrightarrow m=2\sqrt3(1-4)$

$\Leftrightarrow m=2\sqrt3(-3)$

$\Leftrightarrow m=-6\sqrt3$

Selanjutnya persamaan garis singgung pada kurva $y=f\left(x\right)$ di titik $(30\degree, 6)$ adalah

$y-6=-6\sqrt3\left(x-30\degree\right)$

$\Leftrightarrow y=-6\sqrt3\left(x-30\degree\right)+6$