Diketahui:

Fungsi $y=\frac{\tan x}{\cos x}$

Ditanya:

Turunan pertama dari $y=\frac{\tan x}{\cos x}$ ?

Jawab:

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\tan x$ turunannya adalah $y'=\sec^2 x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=\frac{u}{v}$ turunannya adalah $y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Fungsi yang diketahui pada soal berbentuk $y=\frac{u}{v}$ dengan $u=\tan x$ dan $v=\cos x$

Diperoleh

$u'=\sec^2x$

$v'=-\sin x$

Perlu diingat bahwa $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ dan $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

Dengan demikian didapat

$y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

$\Leftrightarrow y'=\frac{\sec^2x\cos x-\tan x\left(-\sin x\right)}{\cos^2x}$

$\Leftrightarrow y'=\frac{\frac{1}{\cos^2x}\cos x-\frac{\sin x}{\cos x}\left(-\sin x\right)}{\cos^2x}$

$\Leftrightarrow y'=\frac{\frac{1}{\cos x}+\frac{\sin^2x}{\cos x}}{\cos^2x}$

$\Leftrightarrow y'=\frac{\frac{1+\sin^2x}{\cos x}}{\cos^2x}$

$\Leftrightarrow y'=\frac{1+\sin^2x}{\cos^3x}$