Titik berat adalah titik di mana resultan gaya gravitasi dan torsi akibat gaya gravitasi dari bagian-bagian benda tersebut sama dengan nol. Resultan yang sama dengan nol ini mengakibatkan benda berada di posisi seimbang. Namun, titik berat tidak harus berada tepat di tengah-tengah posisi benda. Hal ini disesuaikan dengan geomteri dan distribusi massa dari benda tersebut.

Pada gambar tersebut, massa jenis sisi berwarna merah yang berada di kanan lebih besar daripada massa jenis sisi berwarna biru yang berada di kiri. Hal ini akan menyebabkan pengaruh gaya gravitasi akan lebih condong ke arah kanan menyebabkan pusat massa bergeser ke arah kanan atau ke titik B.

Jadi, letak titik berat benda tersebut yang mungkin adalah di posisi B.

Diketahui:

Bangun dimensi tiga pada sumbu-X dan sumbu-Y.

Ditanya:

Titik berat bangun yang diarsir $\left(x,y\right)=?$

Dijawab:

Titik berat suatu benda adalah pusat masa suatu benda. Bangun pada soal merupakan bangun tiga dimensi yang memiliki volume $\left(V\right)$. Bangun tiga dimensi pada soal merupakan bangun yang tidak homogen, sehingga dapat dicari dengan melihat bangun-bangun homogen yang membentuk bangun tersebut. Karena bangun pada soal merupakan bangun tiga dimensi, maka titik beratnya dapat dicari dengan persamaan berikut.

$x=\frac{x_1V_1-x_2V_2}{V_1-V_2}$

$y=\frac{y_1V_1-y_2V_2}{V_1-V_2}$

Bangun tersebut merupakan bangun setengah bola yang digabungkan dengan kerucut.

Jika dilihat, diameter kerucut dan diameter setengah bola memiliki nilai yang sama, yaitu 30 cm. Untuk bangun tiga dimensi berbentuk kerucut dan setengah bola, titik berat koordinat $x$ nya berada di setengah diameter. Jadi titik berat koordinat $x$ nya adalah sebagai berikut.

$x=\frac{1}{2}D$

$x=\frac{1}{2}\left(30\right)$

$x=15$ cm

Sedangkan untuk koordinat $y$ nya dapat dicari satu per satu dengan menandakan daerah yang hijau sebagai bangun 1, dan daerah yang kuning sebagai bangun 2.

Untuk titik berat koordinat $y$ pada bangun 1 (setengah bola) dapat dicari dengan persamaan berikut.

$y_1=\frac{5}{8}t$ ($\frac{5}{8}$ karena bentuk setengah bolanya terbalik)

$y_1=\frac{5}{8}\left(15\right)$

$y_1=9,375$ cm

Untuk titik berat koordinat $y$ pada bangun 2 (kerucut) dapat dicari dengan persamaan berikut.

$y_2=\frac{1}{4}t+15$ (ditambah 15 karena titik terendah dari bangun kerucut berada pada y = 15).

$y_2=\frac{1}{4}\left(30-15\right)+15$

$y_2=\frac{1}{4}\left(15\right)+15$

$y_2=3,75+15$

$y_2=18,75$ cm

Kemudian cari titik berat koordinat $y$ gabungan dari kedua bangun tersebut dengan persamaan berikut.

$y=\frac{y_1V_1-y_2V_2}{V_1-V_2}$

$y=\frac{\left(9,375\right)\left(\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\pi r^3\right)+\left(18,75\right)\left(\frac{1}{3}\pi r^2t\right)}{\left(\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\pi r^3\right)+\left(\frac{1}{3}\pi r^2t\right)}$

$y=\frac{\left(9,375\right)\left(\frac{2}{3}\pi r^3\right)+\left(18,75\right)\left(\frac{1}{3}\pi r^2t\right)}{\left(\frac{2}{3}\pi r^3\right)+\left(\frac{1}{3}\pi r^2t\right)}$

$y=\frac{\pi r^2\left[\left(9,375\right)\left(\frac{2}{3}r\right)+\left(18,75\right)\left(\frac{1}{3}t\right)\right]}{\pi r^2\left[\left(\frac{2}{3}r\right)+\left(\frac{1}{3}t\right)\right]}$

$y=\frac{\left[\left(9,375\right)\left(\frac{2}{3}\left(15\right)\right)+\left(18,75\right)\left(\frac{1}{3}\left(15\right)\right)\right]}{\left[\left(\frac{2}{3}\left(15\right)\right)+\left(\frac{1}{3}\left(15\right)\right)\right]}$

$y=\frac{93,75+93,75}{10+5}$

$y=\frac{187,5}{15}$

$y=12,5$ cm

Jadi, titik berat bangun diarsir adalah $\left(15;\ 12,5\right)$ cm.

Diketahui:

Bangun satu dimensi pada sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$.

Ditanya:

Titik berat $\left(x,y\right)=?$

Dijawab:

Titik berat suatu benda adalah pusat masa suatu benda. Bangun pada soal merupakan bangun satu dimensi yang memiliki panjang $\left(l\right)$. Titik berat suatu bangun satu dimensi yang tidak homogen dapat dicari dengan membagi bangun tersebut menjadi beberapa bangun homogen. Karena bangun pada soal merupakan bangun satu dimensi, maka untuk mencari titik beratnya kita dapat menggunakan persamaan seperti berikut.

$x=\frac{x_1l_1+x_2l_2}{l_1+l_2}$ dan $y=\frac{y_1l_1+y_2l_2}{l_1+l_2}$.

Kita bagi bangunnya terlebih dahulu dengan warna-warna berbeda.

Warna merah kita beri indeks 1. Warna ungu kita beri indeks 2. Warna hijau kita beri indeks 3.

1) Tentukan titik berat pada koordinat $x$.

$x=\frac{x_1l_1+x_2l_2+x_3l_3}{l_1+l_2+l_3}$

$x=\frac{\left(3\right)\left(4\right)+\left(1\right)\left(4\right)+\left(2\right)\left(2\right)}{4+4+2}$

$x=\frac{12+4+4}{10}$

$x=\frac{20}{10}$

$x=2$ cm

2) Tentukan titik berat pada koordinat $y$.

$y=\frac{y_1l_1+y_2l_2+y_3l_3}{l_1+l_2+l_3}$

$y=\frac{\left(4\right)\left(4\right)+\left(2\right)\left(4\right)+\left(2\right)\left(2\right)}{4+4+2}$

$y=\frac{16+8+4}{10}$

$y=\frac{28}{10}$

$y=2,8$ cm

Jadi, titik berat bangun tersebut adalah $\left(2;\ 2,8\right)$ cm.

Diketahui:

Bangun tiga dimensi pada sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$.

Ditanya:

Titik berat bangun yang diarsir $\left(x,y\right)=?$

Dijawab:

Titik berat suatu benda adalah pusat masa suatu benda. Bangun pada soal merupakan bangun tiga dimensi yang memiliki volume $\left(V\right)$. Bangun tiga dimensi pada soal merupakan bangun yang tidak homogen, sehingga dapat dicari dengan melihat bangun-bangun homogen yang membentuk bangun tersebut. Karena bangun pada soal merupakan bangun tiga dimensi, maka titik beratnya dapat dicari dengan persamaan berikut.

$x=\frac{x_1V_1-x_2V_2}{V_1-V_2}$

$y=\frac{y_1V_1-y_2V_2}{V_1-V_2}$

Bangun tersebut merupakan bangun silinder yang memiliki lubang berbentuk kerucut.

Jika dilihat, diameter silinder dan diameter kerucut memiliki nilai yang sama, yaitu 24 cm. Untuk bangun tiga dimensi berbentuk silinder dan kerucut, titik berat koordinat $x$ nya berada di setengah diameter. Jadi titik berat koordinat $x$ nya adalah sebagai berikut.

$x=\frac{1}{2}D$

$x=\frac{1}{2}\left(24\right)$

$x=12$ cm

Sedangkan untuk koordinat $y$ nya dapat dicari satu per satu dengan menandakan daerah yang biru sebagai bangun 1, dan daerah yang ungu sebagai bangun 2.

Untuk titik berat koordinat $y$ pada bangun 1 (silinder) dapat dicari dengan persamaan berikut.

$y_1=\frac{1}{2}t$

$y_1=\frac{1}{2}\left(24\right)$

$y_1=12$ cm

Untuk titik berat koordinat $y$ pada bangun 2 (kerucut) dapat dicari dengan persamaan berikut.

$y_2=\frac{3}{4}t+12$ ($\frac{3}{4}$ karena bentuk kerucutnya terbalik. Ditambah 12 karena titik terendah bangun kerucutnya ada pada titik y = 12)

$y_2=\frac{3}{4}\left(24-12\right)+12$

$y_2=\frac{3}{4}\left(12\right)+12$

$y_2=9+12$

$y_2=21$ cm

Kemudian cari titik berat koordinat $y$ gabungan dari kedua bangun tersebut dengan persamaan berikut.

$y=\frac{y_1V_1-y_2V_2}{V_1-V_2}$

$y=\frac{\left(12\right)\left(\pi r^2t_{\text{s}}\right)-\left(21\right)\left(\frac{1}{3}\pi r^2t_{\text{k}}\right)}{\left(\pi r^2t_{\text{s}}\right)-\left(\frac{1}{3}\pi r^2t_{\text{k}}\right)}$

$y=\frac{\pi r^2\left(12t_{\text{s}}-7t_{\text{k}}\right)}{\pi r^2\left(t_{\text{s}}-\frac{1}{3}t_{\text{k}}\right)}$

$y=\frac{\left(12\left(24\right)-7\left(12\right)\right)}{\left(\left(24\right)-\frac{1}{3}\left(12\right)\right)}$

$y=\frac{288-84}{24-4}$

$y=\frac{204}{20}$

$y=10,2$ cm

Jadi, titik berat bangun diarsir adalah $\left(12;\ 10,2\right)$ cm.

Diketahui:

Bangun dimensi tiga pada sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$.

Ditanya:

Titik berat $\left(x,y\right)=?$

Dijawab:

Titik berat suatu benda adalah pusat masa suatu benda. Bangun pada soal merupakan bangun tiga dimensi yang memiliki volume $\left(V\right)$. Bangun tiga dimensi pada soal merupakan bangun yang homogen, yaitu berbentuk setengah bola. Untuk bentuk setengah bola, titik berat koordinat $x$ nya berada di setengah diameter. Jadi titik berat koordinat $x$ nya adalah sebagai berikut.

$x=\frac{1}{2}D$

$x=\frac{1}{2}\left(16\right)$

$x=8$ cm

Sedangkan untuk koordinat $y$ nya dapat dicari dengan persamaan berikut.

$y=\frac{3}{8}t$

$y=\frac{3}{8}\left(8\right)$

$y=3$ cm

Jadi, titik berat bangun tersebut adalah $\left(8,\ 3\right)$ cm.

Diketahui:

Gambar bangun dua dimensi.

Titik berat koordinat $x$, $x=\left(2R+11\right)$ cm (Karena bergeser kekanan sejauh 11 cm dari pertengahan persegi panjang)

Ditanya:

Jari-jari $R=?$

Dijawab:

Titik berat suatu benda adalah pusat masa suatu benda. Bangun pada soal merupakan bangun dua dimensi yang memiliki luasan $\left(A\right)$. Titik berat suatu bangun dua dimensi yang tidak homogen dapat dicari dengan membagi bangun tersebut menjadi beberapa bangun homogen. Karena bangun pada soal merupakan bangun dua dimensi, maka untuk mencari titik beratnya kita dapat menggunakan persamaan luasan yaitu seperti berikut.

$x=\frac{x_1A_1+x_2A_2}{A_1+A_2}$ dan $y=\frac{y_1A_1+y_2A_2}{A_1+A_2}$

Kita bagi bangunnya terlebih dahulu.

Kemudian gambarkan pada sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$.

Tentukan titik berat koordinat $x$ (karena yang berubah adalah titik berat koordinat $x$).

$x=\frac{x_1A_1-x_2A_2}{A_1-A_2}$ (dikurangi karena lingkarannya merupakan lubang).

$R+11=\frac{\left(2R\right)\left(\left(4R\right)\left(2R\right)\right)-\left(R\right)\left(\pi\left(R\right)^2\right)}{\left(4R\right)\left(2R\right)-\pi\left(R\right)^2}$

$R+11=\frac{16R^3+3,14R^3}{8R^2-3,14R^2}$

$R+11=\frac{R^2\left(16R-3,14R\right)}{R^2\left(8-3,14\right)}$

$R+11=\frac{12,86R}{4,86}$

$4,86R+53,46=12,86R$

$8R=53,46$

$R=6,6825$ cm

Jadi, nilai $R$ adalah $6,6825$ cm.

Diketahui:

Gambar bangun datar pada sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$.

Ditanya:

Titik berat pada koordinat y $y=?$

Dijawab:

Titik berat suatu benda adalah pusat masa suatu benda. Bangun pada soal merupakan bangun dua dimensi yang memiliki luasan $\left(A\right)$. Titik berat suatu bangun dua dimensi yang tidak homogen dapat dicari dengan membagi bangun tersebut menjadi beberapa bangun homogen. Karena bangun pada soal merupakan bangun dua dimensi, maka untuk mencari titik beratnya kita dapat menggunakan persamaan luasan yaitu seperti berikut.

$x=\frac{x_1A_1+x_2A_2}{A_1+A_2}$ dan $y=\frac{y_1A_1+y_2A_2}{A_1+A_2}$

Bangun tersebut dapat dipecah menjadi 2 bangun yang berbeda.

Tentukan titik berat pada koordinat $y$ .

$y=\frac{y_1A_1+y_2A_2}{A_1+A_2}$

$y=\frac{\left(5\right)\left(\left(10\right)\left(10\right)\right)+\left(12\right)\left(\pi\left(12-10\right)^2\right)}{\left(10\right)\left(10\right)+\pi\left(12-10\right)^2}$

$y=\frac{500+48\pi}{100+4\pi}$ (masukkan $\pi=3,14$)

$y=\frac{650,80}{112,57}$

$y=5,78$ cm

Jadi, titik berat bangun tersebut pada koordinat y adalah 5,78 cm.

Titik berat adalah titik di mana resultan gaya gravitasi dan torsi akibat gaya gravitasi dari bagian-bagian benda tersebut sama dengan nol. Resultan yang sama dengan nol ini mengakibatkan benda berada di posisi seimbang. Namun, titik berat tidak harus berada tepat di tengah-tengah posisi benda. Hal ini disesuaikan dengan geomteri dan distribusi massa dari benda tersebut.

Pada cerita tersebut, penumpang pesawat akan diprioritaskan untuk duduk di kursi bagian depan yang akan menyebabkan titik berat dari pesawat berada sedikit ke depan atau dekat dengan titik D.

Jadi, hal ini menyebabkan titik berat pesawat berada di titik D.

Diketahui:

Bangun dua dimensi pada sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$.

Ditanya:

Titik berat $\left(x,y\right)=?$

Dijawab:

Titik berat suatu benda adalah pusat masa suatu benda. Bangun pada soal merupakan bangun dua dimensi yang memiliki luasan $\left(A\right)$. Titik berat suatu bangun dua dimensi yang tidak homogen dapat dicari dengan membagi bangun tersebut menjadi beberapa bangun homogen. Karena bangun pada soal merupakan bangun dua dimensi, maka untuk mencari titik beratnya kita dapat menggunakan persamaan luasan yaitu seperti berikut.

$x=\frac{x_1A_1+x_2A_2}{A_1+A_2}$ dan $y=\frac{y_1A_1+y_2A_2}{A_1+A_2}$

Bangunan tersebut dapat dibagi menjadi dua bangun, yaitu persegi panjang utama (bangun 1) dan lubangnya (bangun 2).

1) Tentukan titik berat pada koordinat $x$.

$x=\frac{x_1A_1-x_2A_2}{A_1-A_2}$ (dikurangi karena bangun 2 merupakan lubang)

$x=\frac{\left(40\right)\left(\left(70\right)\left(80\right)\right)-\left(35\right)\left(\left(50-20\right)\left(40-30\right)\right)}{\left(70\right)\left(80\right)-\left(50-20\right)\left(40-30\right)}$

$x=\frac{224.000-10.500}{5.600-300}$

$x=\frac{213.500}{5.300}$

$x=40,28$ m

2) Tentukan titik berat pada koordinat $y$.

Titik berat pada koordinat $y$ berada di posisi $y$ = 35 m karena bangunan berbentuk simetris terhadap sumbu-$Y$.

Jadi, letak titik berat Hermina Tower berada di (40,28; 35) m.

Diketahui:

Gambar bangun datar pada sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$.

Ditanya:

Titik berat $\left(x,y\right)=?$

Dijawab:

Titik berat suatu benda adalah pusat masa suatu benda. Bangun pada soal merupakan bangun dua dimensi yang memiliki luasan $\left(A\right)$. Titik berat suatu bangun dua dimensi yang tidak homogen dapat dicari dengan membagi bangun tersebut menjadi beberapa bangun homogen. Karena bangun pada soal merupakan bangun dua dimensi, maka untuk mencari titik beratnya kita dapat menggunakan persamaan luasan yaitu seperti berikut.

$x=\frac{x_1A_1+x_2A_2}{A_1+A_2}$ dan $y=\frac{y_1A_1+y_2A_2}{A_1+A_2}$

Kita bagi bangunnya terlebih dahulu.

1) Tentukan titik berat pada koordinat $x$.

$x=\frac{x_1A_1+x_2A_2}{A_1+A_2}$

$x=\frac{\left(1\right)\left(\left(2\right)\left(2\right)\right)+\left(3\right)\left(\left(2\right)\left(4\right)\right)}{\left(2\right)\left(2\right)+\left(2\right)\left(4\right)}$

$x=\frac{4+24}{4+8}$

$x=\frac{28}{12}$

$x=2\frac{1}{3}$ cm

2) Tentukan titik berat pada koordinat $y$.

$y=\frac{y_1A_1+y_2A_2}{A_1+A_2}$

$y=\frac{\left(1\right)\left(\left(2\right)\left(2\right)\right)+\left(2\right)\left(\left(2\right)\left(4\right)\right)}{\left(2\right)\left(2\right)+\left(2\right)\left(4\right)}$

$y=\frac{4+16}{4+8}$

$y=\frac{20}{12}$

$y=1\frac{2}{3}$ cm

Jadi, titik berat bangun tersebut adalah $\left(2\frac{1}{3},\ 1\frac{2}{3}\right)$ cm.