kejarcita | Pendidikan Bermutu untuk Semua

# 7

Pilgan

Diberikan $P\left(n\right)\ :\ (1+x)^n\geq 1+nx$ untuk setiap bilangan asli $n$ dan $x$ . Akan dibuktikan bahwa jika $P\left(k\right)$ berlaku, maka $P\left(k+1\right)$ berlaku. Pernyataan tersebut dapat ditulis menjadi ....

A

akan dibuktikan bahwa jika $(1+x)^k \geq 1+kx$ benar, maka $(1+x)^{k+1} \geq 1+(k+1)x$ benar

B

akan dibuktikan bahwa jika $(1+x)^{k+1} \geq 1+(k+1)x$ benar, maka $(1+x)^{k} \geq 1+kx$ benar

C

akan dibuktikan bahwa jika $(1+x)^k \geq 1+(k+1)x$ benar, maka $(1+x)^{k+1} \geq 1+kx$ benar

D

akan dibuktikan bahwa jika $(1+x)^{k+1} \geq 1+kx$ benar, maka $(1+x)^{k} \geq 1+(k+1)x$ benar

E

akan dibuktikan bahwa jika $(1+x)^1 \geq 1+1.x$ benar, maka $(1+x)^{2} \geq 1+2.x$ benar

Pembahasan:

Secara umum, pernyataan $S\left(n\right)$ dikatakan benar untuk $n=p$ ( $p$ dapat berupa bilangan maupun variabel) jika dengan mensubstitusikan $n=p$ pada $S\left(n\right)$ , maka pernyataan $S\left(n\right)$ benar / berlaku.

Ketidaksamaan $P\left(k\right)$ dapat ditulis dengan mensubstitusikan $n=k$ pada ketidaksamaan $P\left(n\right)$ , yaitu

$\left(1+x\right)^n\ge1+nx\ \Rightarrow\ \left(1+x\right)^k\ge1+kx\$

Ketidaksamaan $P\left(k+1\right)$ dapat ditulis dengan mensubstitusikan $n=k+1$ pada ketidaksamaan $P\left(n\right)$ , yaitu

$\left(1+x\right)^n\ge1+nx\ \Rightarrow\ \left(1+x\right)^{k+1}\ge1+\left(k+1\right)x\$

Akibatnya, pernyataan akan dibuktikan bahwa jika $P\left(k\right)$ berlaku, maka $P\left(k+1\right)$ berlaku dapat ditulis menjadi

akan dibuktikan bahwa jika $(1+x)^k \geq 1+kx$ benar, maka $(1+x)^{k+1} \geq 1+(k+1)x$ benar