Diketahui:

Bangun dimensi tiga pada sumbu-X dan sumbu-Y.

Ditanya:

Titik berat bangun yang diarsir $\left(x,y\right)=?$

Dijawab:

Titik berat suatu benda adalah pusat masa suatu benda. Bangun pada soal merupakan bangun tiga dimensi yang memiliki volume $\left(V\right)$. Bangun tiga dimensi pada soal merupakan bangun yang tidak homogen, sehingga dapat dicari dengan melihat bangun-bangun homogen yang membentuk bangun tersebut. Karena bangun pada soal merupakan bangun tiga dimensi, maka titik beratnya dapat dicari dengan persamaan berikut.

$x=\frac{x_1V_1-x_2V_2}{V_1-V_2}$

$y=\frac{y_1V_1-y_2V_2}{V_1-V_2}$

Bangun tersebut merupakan bangun setengah bola yang digabungkan dengan kerucut.

Jika dilihat, diameter kerucut dan diameter setengah bola memiliki nilai yang sama, yaitu 30 cm. Untuk bangun tiga dimensi berbentuk kerucut dan setengah bola, titik berat koordinat $x$ nya berada di setengah diameter. Jadi titik berat koordinat $x$ nya adalah sebagai berikut.

$x=\frac{1}{2}D$

$x=\frac{1}{2}\left(30\right)$

$x=15$ cm

Sedangkan untuk koordinat $y$ nya dapat dicari satu per satu dengan menandakan daerah yang hijau sebagai bangun 1, dan daerah yang kuning sebagai bangun 2.

Untuk titik berat koordinat $y$ pada bangun 1 (setengah bola) dapat dicari dengan persamaan berikut.

$y_1=\frac{5}{8}t$ ($\frac{5}{8}$ karena bentuk setengah bolanya terbalik)

$y_1=\frac{5}{8}\left(15\right)$

$y_1=9,375$ cm

Untuk titik berat koordinat $y$ pada bangun 2 (kerucut) dapat dicari dengan persamaan berikut.

$y_2=\frac{1}{4}t+15$ (ditambah 15 karena titik terendah dari bangun kerucut berada pada y = 15).

$y_2=\frac{1}{4}\left(30-15\right)+15$

$y_2=\frac{1}{4}\left(15\right)+15$

$y_2=3,75+15$

$y_2=18,75$ cm

Kemudian cari titik berat koordinat $y$ gabungan dari kedua bangun tersebut dengan persamaan berikut.

$y=\frac{y_1V_1-y_2V_2}{V_1-V_2}$

$y=\frac{\left(9,375\right)\left(\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\pi r^3\right)+\left(18,75\right)\left(\frac{1}{3}\pi r^2t\right)}{\left(\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\pi r^3\right)+\left(\frac{1}{3}\pi r^2t\right)}$

$y=\frac{\left(9,375\right)\left(\frac{2}{3}\pi r^3\right)+\left(18,75\right)\left(\frac{1}{3}\pi r^2t\right)}{\left(\frac{2}{3}\pi r^3\right)+\left(\frac{1}{3}\pi r^2t\right)}$

$y=\frac{\pi r^2\left[\left(9,375\right)\left(\frac{2}{3}r\right)+\left(18,75\right)\left(\frac{1}{3}t\right)\right]}{\pi r^2\left[\left(\frac{2}{3}r\right)+\left(\frac{1}{3}t\right)\right]}$

$y=\frac{\left[\left(9,375\right)\left(\frac{2}{3}\left(15\right)\right)+\left(18,75\right)\left(\frac{1}{3}\left(15\right)\right)\right]}{\left[\left(\frac{2}{3}\left(15\right)\right)+\left(\frac{1}{3}\left(15\right)\right)\right]}$

$y=\frac{93,75+93,75}{10+5}$

$y=\frac{187,5}{15}$

$y=12,5$ cm

Jadi, titik berat bangun diarsir adalah $\left(15;\ 12,5\right)$ cm.