Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{1}{x-2}<\frac{1}{3}$

Ditanya:

Batas nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{1}{x-2}<\frac{1}{3}$

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

⇔ $\frac{1}{x-2}-\frac{1}{3}<0$

⇔ $\frac{3-\left(x-2\right)}{3\left(x-2\right)}<0$

⇔ $\frac{5-x}{3\left(x-2\right)}<0$ ... (1)

Dari sini, diketahui $f\left(x\right)=5-x$ dan $g\left(x\right)=3\left(x-2\right)$.

Selanjutnya, kita cari pembuat nolnya.

$5-x=0$ ⇔ $x=5$ atau

$3\left(x-2\right)=0$ ⇔ $x=2$

Kita uji untuk nilai di bagian kanan, yaitu $x$ lebih besar dari 5. Misalkan $x=6$ kita masukkan ke $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ yang telah kita definisikan di atas.

⇔ $\frac{5-6}{3\left(6-2\right)}=-\frac{1}{3\left(4\right)}=-\frac{1}{12}\left(\text{negatif}\right)\$

Karena di sebelah kanan dari 5 memiliki nilai negatif dan di pertidaksamaan (1) diketahui tandanya $<0$ , berarti daerah ini memenuhi.

Lakukan cara yang sama untuk kedua daerah lainnya akan diperoleh daerah penyelesaian seperti garis bilangan di bawah:

Jadi, rentang nilai $x$ yang memenuhi adalah $x<2$ atau $x>5$.