Diketahui:

Pertidaksamaan $-1\le\frac{1}{2-x}<2$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Jika bentuk pertidaksamaannya adalah dua pertidaksamaan dengan bentuk umum

$f\left(x\right)<g\left(x\right)<h\left(x\right)$

kita dapat memecahnya menjadi

$g\left(x\right)<h\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)>f\left(x\right)$

dan menyelesaikan masing-masing pertidaksamaan. Solusi keseluruhan adalah irisan dari kedua solusi tersebut.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$-1\le\frac{1}{2-x}<2$ ... (1)

yang sebenarnya adalah dua pertidaksamaan, yaitu

$\frac{1}{2-x}<2$ dan $\frac{1}{2-x}\ge-1$

Pertidaksamaan 1:

$\frac{1}{2-x}<2$

⇔ $\frac{1}{2-x}-2<0$

⇔ $\frac{1-2\left(2-x\right)}{2-x}<0$

⇔ $\frac{1-4+2x}{2-x}<0$

⇔ $\frac{2x-3}{2-x}<0$

Agar semua suku $x$ menjadi positif, kita kalikan kedua ruas dengan $-1$.

⇔ $\frac{2x-3}{x-2}>0$ ... (2)

Pada pertidaksamaan (2), bentuknya sudah sesuai dengan bentuk umum dengan $f\left(x\right)=2x-3,\ g\left(x\right)=x-2$.

Kita cari pembuat nol pada masing-masing fungsi.

$f\left(x\right)=0$

$2x-3=0$ ⇔ $x=\frac{3}{2}$

$g\left(x\right)=0$

$x-2=0$ ⇔ $x=2$

Totalnya, ada dua nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari kedua titik pembuat nol tersebut.

Karena tanda pertidaksamaan (2) adalah $>$, solusinya adalah yang bertanda positif. Jadi, solusinya adalah $x>2$ atau $x<\frac{3}{2}$ (*).

Pertidaksamaan 2:

$\frac{1}{2-x}\ge-1$

⇔ $\frac{1}{2-x}+1\ge0$

⇔ $\frac{1+2-x}{2-x}\ge0$

⇔ $\frac{3-x}{2-x}\ge0$

⇔ $\frac{\left(-1\right)\left(x-3\right)}{\left(-1\right)\left(x-2\right)}\ge0$

⇔ $\frac{x-3}{x-2}\ge0$ ... (3)

Pada pertidaksamaan (3), bentuknya sudah sesuai dengan bentuk umum dengan $f\left(x\right)=x-3$ dan $g\left(x\right)=x-2$.

Kita cari pembuat nol pada masing-masing fungsi.

$f\left(x\right)=0$

$x-3=0$ ⇔ $x=3$ atau

$x-2=0$ ⇔ $x=2$

Totalnya, ada dua nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari kedua titik pembuat nol tersebut.

Karena tanda pertidaksamaan (3) adalah $\ge$, solusinya adalah yang bertanda positif. Jadi, solusinya adalah $x<2$ atau $x\ge3$ (**).

Solusi keseluruhan adalah irisan dari (*) dan (**). Garis bilangannya adalah seperti di bawah.

Solusi pertidaksamaan adalah $x<\frac{3}{2}$ atau $x\ge3$.

Pembuktian:

Untuk rentang $x<\frac{3}{2}$, kita gunakan $x=1$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (3)

⇔ $\frac{1-3}{1-2}\ge0$

⇔ $\frac{-2}{-1}\ge0$

⇔ $2\ge0$ ... (4)

Pernyataan (4) benar. Jadi, solusi ini terbukti memenuhi pertidaksamaan.