Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x^2+9x}{2x-6}<0$ . . . (*)

Ditanya:

Batasan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan yang diketahui pada soal merupakan pertidaksamaan rasional linear-kuadrat. Perlu diingat pertidaksamaan rasional linear-kuadrat memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\frac{ax^2+bx+x}{px+q}\le n$ atau $\frac{px+q}{ax^2+bx+x}\le n$

dengan $a,\ b,\ c,\ p,\ q,$ dan $n$ merupakan konstanta. Tanda pertidaksamaan $\le$ dapat juga berbentuk $<,\ \ge,$ atau $>$

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional linear-kuadrat adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*). Diperoleh

$\frac{x^2+9x}{2x-6}=0$

Untuk pembilang diperoleh

$x^2+9x=0$

$\Leftrightarrow x\left(x+9\right)=0$

Artinya

$x=0$ atau

$x+9=0\Leftrightarrow x=-9$

Untuk penyebut diperoleh

$2x-6=0$

$\Leftrightarrow2x=6$

$\Leftrightarrow x=\frac{6}{2}$

$\Leftrightarrow x=3$

Karena $x=3$ diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka $x=3$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*).

Berdasarkan harga nol yang diperoleh, pertidaksamaan (*) dapat ditulis menjadi

$\frac{x\left(x+9\right)}{2x-6}<0$ . . . (**)

Diperhatikan tabel yang menunjukkan tanda nilai yang diperoleh pada batasan/interval yang ada.

Jika dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut

Pertidaksamaan (**) memiliki tanda $<$ artinya yang diminta adalah hasil dengan tanda negatif dan $x=0$ serta $x=-9$ bukan merupakan penyelesaian. Diperoleh

Jadi batasan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $x<-9$ atau $0<x<3$