Diketahui:

Kecepatan awal bola X v_x = 25 m/s

Kecepatan awal balok Y v_y = 0 $\rightarrow$ karena diam

Kecepatan akhir balok Y v_y' = 10 m/s

Koefisien restitusi = 0,4

Ditanya:

Kecepatan bola X setelah tumbukan v_x' = ?

Dijawab:

Koefisien restitisi adalah negatif perbandingan antara kecepatan relatif sesaat sesudah tumbukan dengan kecepatan relatif sesaat sebelum tumbukan.

$e=-(\frac{\Delta v'}{\Delta v})$ $=-(\frac{v_{\text{B}}'-v_{\text{A}}'}{v_{\text{}\text{B}}-v_{\text{A}}})$

Pada tumbukan lenting sebagian, momentum sistem bersifat kekal namun energi kinetik sistem tidak kekal dengan koefisien restitusi lebih besar dari nol tetapi kurang dari 1 (0 < e < 1). Sehingga pada kasus tumbukan antara bola X dan Balok Y terjadi tumbukan lenting sebagian. Maka,

$e=-(\frac{v_{\text{y}}'-v_{\text{x}}'}{v_{\text{}}-v_{\text{x}}})$

$0,4=-(\frac{10-v_{\text{x}}'}{0-25})$

$0,4=-(\frac{10-v_{\text{x}}'}{-25})$

$\left(0,4\right)\left(-25\right)=-\left(10-v_{\text{x}}'\right)$

$-10=-10+v_{\text{x}}'$

$v_{\text{x}}'=-10+10$

$v_{\text{x}}'=0$ m/s

Jadi, kecepatan bola X setelah tumbukan adalah 0 m/s yang artinya setelah tumbukan dengan balok Y, bola X berhenti.

Diketahui:

Bertumbukan tidak lenting sama sekali

Kecepatan bola 1 $v_1=0$ m/s (Karena salah satu bola diam)

Kecepatan bola 2 $v_2=2$ m/s

Massa bola 1 sama dengan massa bola 2 $m_1=m_2=30$ gram $=0,03$ kg

Ditanya:

Kecepatan bola sesaat setelah bertumbukan $v'=?$

Dijawab:

Tumbukan tidak lenting sama sekali merupakan jenis tumbukan yang terjadi apabila benda yang bertumbukan menyatu dan bergerak secara bersamaan setelah bertumbukan. Persamaan hukum kekekalan momentum dimodifikasi menurut keadaan ini dan didapatkan persamaan untuk jenis tumbukan ini adalah seperti berikut.

$m_1v_1+m_2v_2=\left(m_1+m_2\right)v'$

$\left(0,03\right)\left(0\right)+\left(0,03\right)\left(2\right)=\left(0,03+0,03\right)v'$

$0+0,06=0,06v'$

$0,06v'=0,06$

$v'=\frac{0,06}{0,06}$

$v'=1$ m/s

Jadi, kecepatan bola sesaat setelah bertumbukan adalah $1$ m/s.

Diketahui:

Massa troli A = massa troli B m_A = m_B = 2 kg

Kecepatan awal troli A v_A = 5 m/s

Kecepatan awal troli B v_B = 15 m/s

Tumbukan lenting sempurna

Ditanya:

Kecepatan masing-masing troli setelah bertumbukan v_A' dan v_B' = ?

Dijawab:

Tumbukan lenting sempurna terjadi jika pada peristiwa tumbukan tersebut energi kinetik sistem adalah tetap sehingga selain berlaku hukum kekekalan momentum juga berlaku hukum kekekalan energi kinetik. Berdasarkan hukum kekekalan momentum, momentum total awal adalah sama dengan momentum total akhir, dimana

$p_{\text{sebelum}}=p_{\text{setelah}}$

Sementara momentum merupakan ukuran kesukaran untuk memberhentikan gerak suatu benda melalui hasil perkalian antara massa dengan kecepatan benda.

$p\ =\ mv$

sehingga

$m_{\text{M}}v_{\text{M}}+m_{\text{N}}v_{\text{N}}=m_{\text{M}}v_{\text{M}}'+m_{\text{N}}v_{\text{N}}'$

Sedangkan hukum kekekalan energi kinetik menyatakan bahwa energi kinetik sistem sesaat sebelum dan sesudah tumbukan adalah sama besar.

$EK_1+EK_2=EK_1'+EK_2'$

Karena berlaku hukum kekekalan energi kinetik maka, koefisien restitusi pada tumbukan lenting sempurna bernilai 1, maka

$e=-\left(\frac{\Delta v'}{\Delta v}\right)$

$1=-\left(\frac{\Delta v'}{\Delta v}\right)$

$\Delta v'=-\Delta v$ .......(1)

Untuk tumbukan lenting sempurna, kecepatan relatif sesaat sesudah tumbukan sama dengan kecepatan relatif sesaat sebelum tumbukan.

Misal arah gerak benda M bernilai positif dan arah gerak benda N bernilai negatif maka

$m_{\text{A}}v_{\text{A}}+m_{\text{B}}v_{\text{B}}=m_{\text{A}}v_{\text{A}}'+m_{\text{B}}v_{\text{}}'$

$\left(2\right)\left(5\right)+\left(2\right)\left(-15\right)=\left(2\right)v_{\text{A}}'+\left(2\right)v_{\text{B}\text{}}'$

Karena massanya sama, maka dapat dicoret

$\left(5\right)+\left(-15\right)=v_{\text{A}}'+v_{\text{B}}'$

$-10=v_{\text{}\text{A}}'+v_{\text{B}}'$

$v_{\text{A}}'=-10-v_{\text{B}}'$ .....(2)

berdasarkan persamaan (1)

$\Delta v'=-\Delta v$

$v_{\text{}\text{B}}'-v_{\text{A}}'=-\left(v_{\text{B}}-v_{\text{A}}\right)$

$v_{\text{B}}'-\left(-10-v_{\text{B}}'\right)=-\left(v_{\text{B}}-v_{\text{A}}\right)$

$v_{\text{B}}'+10+v_{\text{B}}'=-\left(v_{\text{B}}-v_{\text{A}}\right)$

$2v_{\text{B}}'+10=v_{\text{A}}-v_{\text{B}}$

$2v_{\text{B}}'+10=5-\left(-15\right)$

$2v_{\text{B}}'+10=5+15$

$2v_{\text{B}}'+10=20$

$2v_{\text{B}}'=20-10$

$2v_{\text{B}}'=10$

$v_{\text{B}}'=\frac{10}{2}$

$v_{\text{B}}'=5$ m/s

substitusikan ke persamaan (2)

$v_{\text{A}}'=-10-v_{\text{B}}'$

$v_{\text{A}}'=-10-5$

$v_{\text{A}}'=-15$ m/s

JIka ada dua benda bermassa sama bergerak berlawanan arah dan bertumbukan lenting sempurna, maka kecepatan akhir setelah tumbukan merupakan pertukaran kecepatan seperti sebelum tumbukan, tetapi arahnya berlawanan dengan gerak semula.

Jadi kecepatan troli A setelah tumbukan adalah 15 m/s dan kecepatan troli B setelah tumbukan adalah 5 m/s.

Diketahui:

Massa benda R m_R = 2 kg

Massa benda S m_S = 3 kg

Kecepatan awal benda R v_R = 12 m/s

Kecepatan awal benda S v_S = 4 m/s

Tumbukan tidak lenting sama sekali

Ditanya:

Kecepatan kedua benda setelah tumbukan v' = ?

Dijawab:

Soal merupakan contoh kasus tumbukan tidak lenting sama sekali. Pada tumbukan tidak lenting sama sekali masih berlaku hukum kekekalan momentum yang menyatakan bahwa momentum total awal adalah sama dengan momentum total akhir, dimana

$p_{\text{sebelum}}=p_{\text{setelah}}$

Sementara momentum merupakan ukuran kesukaran untuk memberhentikan gerak suatu benda melalui hasil perkalian antara massa dengan kecepatan benda.

$p\ =\ mv$

Jenis tumbukan tidak lenting sama sekali merupakan jenis tumbukan dimana setelah tumbukan kedua benda bersatu dan bergerak bersama dengan kecepatan yang sama, maka berlaku hubungan kecepatan setelah tumbukan sebagai berikut.

$v_1'=v_2'=v'$

sehingga persamaan yang berlaku untuk tumbukan tidak lenting sama sekali adalah

$m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v'$

misal arah gerak benda R bernilai positif dan arah gerak benda S bernilai negatif, maka pada kasus benda R dan benda S

$m_{\text{R}}v_{\text{R}}+m_{\text{S}}v_{\text{S}}=\left(m_{\text{R}}+m_{\text{}}\right)v'$

$\left(2\right)\left(12\right)+\left(3\right)\left(-4\right)=\left(2+3\right)v'$

$24-12=5v'$

$12=5v'$

$v'=\frac{12}{5}$

$v'=2,4$ m/s

Jadi, kecepatan kedua benda setelah tumbukan adalah 2,4 m/s.

Diketahui:

Bertumbukan lenting sebagian.

Koefisien restitusi $e=0,2$

Kecepatan bola 1 $v_1=0$ m/s (Karena salah satu bola diam)

Kecepatan bola 2 $v_2=2$ m/s

Massa bola 1 sama dengan massa bola 2 $m_1=m_2=30$ gram $=0,03$ kg

Ditanya:

Kecepatan bola yang awalnya bergerak sesaat setelah bertumbukan $v_2'=?$

Dijawab:

Tumbukan lenting sebagian merupakan jenis tumbukan yang terjadi apabila benda yang bertumbukan tidak saling menjauh satu sama lain setelah bertumbukan namun juga tidak menyatu dan bergerak secara bersamaan. Tumbukan lenting sebagian memiliki koefisien restitusi diantara 0 dan 1 ($0<e<1$). Koefisien ini merupakan harga negatif perbandingan besarnya kecepatan kedua benda yang bertumbukan setelah dan sebelum bertumbukan. Koefisien restitusi dapat dituliskan dengan persamaan berikut.

$e=-\frac{v_1'-v_2'}{v_1-v_2}$

$0,2=-\frac{v_1'-v_2'}{0-2}$

$0,2=-\frac{v_1'-v_2'}{-2}$

$0,4=v_1'-v_2'$

$v_1'=v_2'-0,4$

Kemudian kita dapat melanjutkannya dengan persamaan hukum kekekalan momentum berikut.

$p_{\text{awal}}=p_{\text{akhir}}$

$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$

$\left(0,03\right)\left(0\right)+\left(0,03\right)\left(2\right)=\left(0,03\right)\left(v_2'-0,4\right)+\left(0,03\right)\left(v_2'\right)$

$0+0,06=0,03v_2'-0,012+0,03v_2'$

$0,06=0,06v_2'-0,012$

$0,072=0,06v_2'$

$v_2'=1,2$ m/s

Jadi, kecepatan bola yang awalnya bergerak sesaat setelah bertumbukan adalah $1,2$ m/s.

Diketahui:

Massa balok m_b = 1,96 kg

Massa peluru m_p= 40 gram = 0,04 kg

Penekanan panjang pegas x = 40 cm = 0,4 m

Konstanta pegas k = 200 N/m

Posisi seimbang x₀ = 0

kecepatan balok sebelum ditumbuk v_balok = 0 m/s

Ditanya:

kecepatan awal peluru v_p = ?

Dijawab:

Ketika sistem balok kayu-pegas diuraikan, maka terdapat beberapa konsep yang bekerja yaitu, konsep gaya pegas, energi kinetik, usaha, dan tumbukan. Gaya pegas termasuk ke dalam gaya konservatif di mana usaha yang dilakukan gaya pegas merupakan perubahan energi potensial pegas. Ketika balok kayu tertembak oleh peluru, terjadi perubahan energi kinetik yang menyebabkan gaya pegas melakukan usaha. Sehingga sesuai dengan teorema usaha-energi, dapat dituliskan menjadi:

W = $\Delta$EK

Karena satu-satunya gaya yang melakukan usaha pada balok kayu adalah gaya pegas, maka

W_pegas = $\Delta$EK, di mana W_pegas = $\Delta$EP_pegas, sehingga

$\Delta$EK = $\Delta$EP_pegas

1) Menentukan kecepatan akhir setelah balok ditumbuk peluru

$\Delta$EK = $\Delta$EP_pegas

$\frac{1}{2}$ (m_p + m_b) v' ²- $\frac{1}{2}$ (m_b) v_b² = $\frac{1}{2}$ kx² - $\frac{1}{2}$ kx₀²

$\frac{1}{2}$ (m_p + m_b) v' ² - 0 = $\frac{1}{2}$ kx² - 0

$\frac{1}{2}$ (m_p + m_b) v' ²= $\frac{1}{2}$ kx²

$\frac{1}{2}$ (0,04+1,96) v' ²= $\frac{1}{2}$ (200)(0,4)²

2,00 v' ² = (200)(0,16)

v' ² =$\frac{(200\ )(\ 0,16)}{2,00}$

v' ² = 16

v' = 4 m/s

2) Menentukan kecepatan awal peluru

Peristiwa peluru dan balok kayu merupakan salah satu contoh aplikasi dari tumbukan tidak lenting sama sekali. Setelah diperoleh kecepatan akhir peluru menumpuk balok kayu, maka selanjutnya dapat ditentukan kecepatan awal peluru melalui persamaan

m_pv_p + m_bv_b = (m_p + m_b) v'

m_pv_p = (m_p + m_b) v'

0,04 v_p = (0,04 + 1,96) 4

0,04 v_p = 8

v_p = $\frac{8}{0,04}$

v_p = 200 m/s

Jadi, kecepatan awal peluru sesaat sebelum menumbuk balok kayu adalah 200 m/s

Diketahui:

Gambaran gerak kedua bola.

Massa bola 1 $m_1=2$ kg

Massa bola 2 $m_2=3$ kg

Kecepatan bola 1 $v_1=5$ m/s

Kecepatan bola 2 $v_2=2$ m/s

Bertumbukan tidak lenting sama sekali (karena kedua bola menyatu dan bergerak secara bersamaan setelah bertumbukan).

Ditanya:

Kecepatan setelah bertumbukan $v'=?$

Dijawab:

Tumbukan tidak lenting sama sekali merupakan jenis tumbukan yang terjadi apabila benda yang bertumbukan menyatu dan bergerak secara bersamaan setelah bertumbukan. Persamaan hukum kekekalan momentum dimodifikasi menurut keadaan ini dan didapatkan persamaan untuk jenis tumbukan ini adalah seperti berikut.

$m_1v_1+m_2v_2=\left(m_1+m_2\right)v'$

$\left(2\right)\left(5\right)+\left(3\right)\left(2\right)=\left(2+3\right)v'$

$10+6=5v'$

$16=5v'$

$v'=3,2$ m/s

Jadi, besarnya kecepatan kedua bola tersebut sebesar $3,2$ m/s.

Diketahui:

Massa benda A m_A = 4 kg

Massa benda B m_B = 3 kg

Kecepatan awal benda A v_A = 6 m/s

Kecepatan awal benda B v_B = 0 $\rightarrow$ karena mula-mula diam

Kecepatan akhir benda A v_A' = 0 $\rightarrow$ karena setelah tumbukan berhenti

Ditanya:

Kecepatan benda B setelah tumbukan v_B' = ?

Dijawab:

Pada kasus tumbukan lenting sebagian masih berlaku hukum kekekalan momentum yang menyatakan bahwa momentum total awal adalah sama dengan momentum total akhir, dimana

$p_{\text{sebelum}}=p_{\text{setelah}}$

Sementara momentum merupakan ukuran kesukaran untuk memberhentikan gerak suatu benda melalui hasil perkalian antara massa dengan kecepatan benda.

$p\ =\ mv$

Sehingga untuk menentukan kecepatan akhir benda B setelah tumbukan adalah sebagai berikut.

$m_{\text{A}}v_{\text{A}}+m_{\text{B}}v_{\text{B}}=m_{\text{A}}v_{\text{A}}'+m_{\text{B}}v_{\text{B}}'$

$\left(4\right)\left(6\right)+\left(3\right)\left(0\right)=\left(4\right)\left(0\right)+\left(3\right)\left(v_{\text{B}}'\right)$

$24+0=0+3v_{\text{B}}'$

$24=3v_{\text{B}}'$

$v_{\text{B}}'=\frac{24}{3}$

$v_{\text{B}}'=8$ m/s

Jadi, kecepatan benda B setelah tumbukan adalah 8 m/s.

Diketahui:

Massa benda M = massa benda N m_M = m_N = 5 kg

Kecepatan awal benda M v_M = 15 m/s

Kecepatan awal benda N v_N = 25 m/s

Tumbukan lenting sempurna

Ditanya:

Kecepatan masing-masing benda setelah bertumbukan v_M' dan v_N' = ?

Dijawab:

Tumbukan lenting sempurna terjadi jika pada peristiwa tumbukan tersebut energi kinetik sistem adalah tetap sehingga selain berlaku hukum kekekalan momentum juga berlaku hukum kekekalan energi kinetik. Berdasarkan hukum kekekalan momentum, momentum total awal adalah sama dengan momentum total akhir, dimana

$p_{\text{sebelum}}=p_{\text{setelah}}$

Sementara momentum merupakan ukuran kesukaran untuk memberhentikan gerak suatu benda melalui hasil perkalian antara massa dengan kecepatan benda.

$p\ =\ mv$

sehingga

$m_{\text{M}}v_{\text{M}}+m_{\text{N}}v_{\text{N}}=m_{\text{M}}v_{\text{M}}'+m_{\text{N}}v_{\text{N}}'$

Sedangkan hukum kekekalan energi kinetik menyatakan bahwa energi kinetik sistem sesaat sebelum dan sesudah tumbukan adalah sama besar.

$EK_1+EK_2=EK_1'+EK_2'$

Karena berlaku hukum kekekalan energi kinetik maka, koefisien restitusi pada tumbukan lenting sempurna bernilai 1, maka

$e=-\left(\frac{\Delta v'}{\Delta v}\right)$

$1=-\left(\frac{\Delta v'}{\Delta v}\right)$

$\Delta v'=-\Delta v$ ....... (1)

Untuk tumbukan lenting sempurna, kecepatan relatif sesaat sesudah tumbukan sama dengan kecepatan relatif sesaat sebelum tumbukan.

Misal arah gerak benda M bernilai positif dan arah gerak benda N bernilai negatif maka

$m_{\text{M}}v_{\text{M}}+m_{\text{N}}v_{\text{N}}=m_{\text{M}}v_{\text{M}}'+m_{\text{N}}v_{\text{N}}'$

$\left(5\right)\left(15\right)+\left(5\right)\left(-25\right)=\left(5\right)v_{\text{M}}'+\left(5\right)v_{\text{N}}'$

Karena massanya sama, maka dapat dicoret

$\left(15\right)+\left(-25\right)=v_{\text{M}}'+v_{\text{N}}'$

$-10=v_{\text{M}}'+v_{\text{N}}'$

$v_{\text{M}}'=-10-v_{\text{N}}'$ .....(2)

berdasarkan persamaan (1)

$\Delta v'=-\Delta v$

$v_{\text{N}}'-v_{\text{M}}'=-\left(v_{\text{N}}-v_{\text{M}}\right)$

$v_{\text{N}}'-\left(-10-v_{\text{N}}'\right)=-\left(v_{\text{N}}-v_{\text{M}}\right)$

$v_{\text{N}}'+10+v_{\text{N}}'=-\left(v_{\text{N}}-v_{\text{M}}\right)$

$2v_{\text{N}}'+10=v_{\text{M}}-v_{\text{N}}$

$2v_{\text{N}}'+10=15-\left(-25\right)$

$2v_{\text{N}}'+10=15+25$

$2v_{\text{N}}'+10=40$

$2v_{\text{N}}'=40-10$

$2v_{\text{N}}'=30$

$v_{\text{N}}'=\frac{30}{2}$

$v_{\text{N}}'=15$ m/s

substitusikan ke persamaan (2)

$v_{\text{M}}'=-10-v_{\text{N}}'$

$v_{\text{M}}'=-10-15$

$v_{\text{M}}'=-25$ m/s

JIka ada dua benda bermassa sama bergerak berlawanan arah dan bertumbukan lenting sempurna, maka kecepatan akhir setelah tumbukan merupakan pertukaran kecepatan seperti sebelum tumbukan, tetapi arahnya berlawanan dengan gerak semula.

Jadi kecepatan benda M setelah tumbukan adalah 25 m/s dan kecepatan benda N setelah tumbukan adalah 15 m/s.

Diketahui:

Gambaran gerak kedua bola.

Massa bola 1 $m_1=2$ kg

Massa bola 2 $m_2=3$ kg

Kecepatan bola 1 $v_1=5$ m/s

Kecepatan bola 2 $v_2=2$ m/s

Koefisien restitusi $e=0,8$

Bertumbukan lenting sebagian

Ditanya:

Kecepatan bola 1 setelah tumbukan $v_1'=?$

Kecepatan bola 2 setelah tumbukan $v_2'=?$

Dijawab:

Tumbukan lenting sebagian merupakan jenis tumbukan yang terjadi apabila benda yang bertumbukan tidak saling menjauh satu sama lain setelah bertumbukan namun juga tidak menyatu dan bergerak secara bersamaan. Tumbukan lenting sebagian memiliki koefisien restitusi diantara 0 dan 1 ($0<e<1$). Koefisien ini merupakan harga negatif perbandingan besarnya kecepatan kedua benda yang bertumbukan setelah dan sebelum bertumbukan. Koefisien restitusi dapat dituliskan dengan persamaan berikut.

$e=-\frac{v_1'-v_2'}{v_1-v_2}$

$0,8=-\frac{v_1'-v_2'}{5-2}$

$0,8=-\frac{v_1'-v_2'}{3}$

$2,4=-v_1'+v_2'$

$v_1'=v_2'-2,4$

Kemudian kita dapat melanjutkannya dengan persamaan hukum kekekalan momentum berikut.

$p_{\text{awal}}=p_{\text{akhir}}$

$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$

$\left(2\right)\left(5\right)+\left(3\right)\left(2\right)=\left(2\right)\left(v_2'-2,4\right)+\left(3\right)\left(v_2'\right)$

$10+6=2v_2'-4,8+3v_2'$

$16=5v_2'-4,8$

$20,8=5v_2'$

$v_2'=4,16$ m/s

Kemudian cari kecepatan bola 1 dengan persamaan yang didapat dari persamaan restitusi berikut.

$v_1'=v_2'-2,4$

$v_1'=4,16-2,4$

$v_1'=1,76$ m/s

Jadi, kecepatan bola 1 dan 2 setelah tumbukan berturut-turut adalah $1,76$ m/s dan $4,16$ m/s.