Diketahui:

Data berikut

$3,\ 7,\ 5,\ 6,\ \ 4,\ 5,\ 3,\ 7.$

Ditanya:

Simpangan rata-rata data tersebut?

Jawab:

Dimisalkan

$x_i$ adalah data ke-$i$

$n$ adalah banyak data, yaitu $n=8$

Rataan dari data tersebut adalah

$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}=\frac{\sum_{i=1}^8x_i}{8}=\frac{3+7+5+6+4+5+3+7}{8}=\frac{40}{8}=5$.

Simpangan rata-rata dari data tersebut adalah

$Sr=\frac{\sum_{i=1}^n\left|x_i-\overline{x}\right|}{n}$

$Sr=\frac{\sum_{i=1}^8\left|x_i-\overline{x}\right|}{8}$

$Sr=\frac{\left|3-5\right|+\left|7-5\right|+\left|5-5\right|+\left|6-5\right|+\left|4-5\right|+\left|5-5\right|+\left|3-5\right|+\left|7-5\right|}{8}$

$Sr=\frac{2+2+0+1+1+0+2+2}{8}$

$Sr=\frac{10}{8}$

$Sr=1,25$

Diketahui:

Data berat badan siswa kelas XII pada tabel berikut

Rata-rata data tersebut $\overline{x}=60$

Ditanya:

Simpangan baku (standar deviasi)?

Jawab:

Berdasarkan data yang diketahui diperoleh data tambahan pada tabel berikut.

Ragam data berkelompok tersebut adalah

$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^nf_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{\sum_{i=1}^nf_i}$

$\sigma^2=\frac{392+24+54+192+338}{8+6+6+3+2}$

$\sigma^2=\frac{1.000}{25}$

$\sigma^2=40$

Simpangan baku merupakan akar dari variansi, sehingga simpangan bakunya adalah

$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=\sqrt{4}\times\sqrt{10}=2\sqrt{10}$

Diketahui:

Data berikut

$5,\ 7,\ 8,\ 8,\ 6,\ 9,\ 6,\ 7.$

Ditanya:

Simpangan rata-rata data tersebut?

Jawab:

Dimisalkan

$x_i$ adalah data ke-$i$

$n$ adalah banyak data, yaitu $n=8$

Rataan dari data tersebut adalah

$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}=\frac{\sum_{i=1}^8x_i}{8}=\frac{5+7+8+8+6+9+6+7}{8}=\frac{56}{8}=7$.

Simpangan rata-rata dari data tersebut adalah

$Sr=\frac{\sum_{i=1}^n\left|x_i-\overline{x}\right|}{n}$

$Sr=\frac{\sum_{i=1}^8\left|x_i-\overline{x}\right|}{8}$

$Sr=\frac{\left|5-7\right|+\left|7-7\right|+\left|8-7\right|+\left|8-7\right|+\left|6-7\right|+\left|9-7\right|+\left|6-7\right|+\left|7-7\right|}{8}$

$Sr=\frac{2+0+1+1+1+2+1+0}{8}$

$Sr=\frac{8}{8}$

$Sr=1$

Diketahui:

Data 12, 10, 13, 11, 14

Ditanya:

Variansi (ragam)?

Jawab:

Terlebih dahulu datanya diurutkan menjadi

10, 11, 12, 13, 14.

Dimisalkan $x_i$ adalah data ke-$i$ setelah diurutkan dan banyaknya data adalah $n=5$.

Rata-rata data tersebut yaitu

$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}$

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_5}{5}$

$\overline{x}=\frac{10+11+12+13+14}{5}$

$\overline{x}=\frac{60}{5}$

$\overline{x}=12$

Variansi data tersebut adalah

$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2$

$\sigma^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5\left(x_i-\overline{x}\right)^2$

$\sigma^2=\frac{1}{5}\left(\left(10-12\right)^2+\left(11-12\right)^2+\left(12-12\right)^2+\left(13-12\right)^2+\left(14-12\right)^2\right)$

$\sigma^2=\frac{1}{5}\left(\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2+\left(0\right)^2+\left(1\right)^2+\left(2\right)^2\right)$

$\sigma^2=\frac{1}{5}\left(4+1+0+1+4\right)$

$\sigma^2=\frac{1}{5}\left(10\right)$

$\sigma^2=2$

Diketahui:

$n=10$ siswa

Rata-rata tanpa nilai maksimum $=82$

Rata-rata tanpa nilai minimum $=84$

Ditanya:

Jangkauan data adalah selisih dari data maksimum dan data minimum atau dapat dituliskan sebagai berikut.

$J=x_n-x_1$, dengan

$J=$ jangkauan data

$x_n=$ data ke-$n$

$x_i=$ data ke-$1$

Data di atas memiliki 10 nilai, maka jangkauan pada data di atas dapat dihitung dengan

$J=x_{10}-x_1$

Menemukan nilai maksimum atau $x_{10}$ dan nilai minimum atau $x_1$

Diketahui rata-rata tanpa nilai maksimum adalah 82, maka

$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9}{9}=82$

$\Leftrightarrow x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9=82⋅9$

$\Leftrightarrow x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9=738$ ... persamaan 1

Diketahui rata-rata tanpa nilai minimum adalah 8, maka

$\frac{x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}}{9}=84$

$\Leftrightarrow x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}=84⋅9$

$\Leftrightarrow x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}=756$ ... persamaan 2

Eliminasikan persamaan 2 ke persamaan 1

$\left(x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}\right)-\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9\right)=756-738$

$\Leftrightarrow x_{10}-x_1=18$

$\Leftrightarrow J=x_{10}-x_1=18$

Jadi, jangkauan data 10 siswa tersebut adalah 18.

Diketahui:

Data: 21, 30, 18, 15, 22, 26, 17, 24, 22, 25

Ditanya:

Standar deviasi atau simpangan baku $=\sigma=?$

Jawab:

Standar deviasi atau simpangan baku dari data $x_1,\ x_2,\ x_3,\ ...,\ x_n$ didefinisikan sebagai:

$\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n}}$

Untuk menemukan simpangan rata-rata, kita harus menghitung rata-rata data tersebut terlebih dahulu.

Menghitung rata-rata $\left(\overline{x}\right)$

Rata-rata dari data $x_1,\ x_2,\ x_3,\ ...,\ x_n$ didefinisikan sebagai:

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\ ...,+x_n}{n}$

$\Leftrightarrow\overline{x}=\frac{21+30+18+15+22+26+17+24+22+25}{10}$

$\Leftrightarrow\overline{x}=\frac{220}{10}$

$\Leftrightarrow\overline{x}=22$

Menghitung standar deviasi atau simpangan baku $\left(\sigma\right)$

$\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n}}$

$\Leftrightarrow\sigma=\sqrt{\frac{\left(21-22\right)^2+\left(30-22\right)^2+\left(18-22\right)^2+\left(15-22\right)^2+\left(22-22\right)^2+\left(26-22\right)^2+\left(17-22\right)^2+\left(24-22\right)^2+\left(22-22\right)^2+\left(25-22\right)^2}{10}}$

$\Leftrightarrow\sigma=\sqrt{\frac{\left(-1\right)^2+\left(8\right)^2+\left(-4\right)^2+\left(-7\right)^2+\left(0\right)^2+\left(4\right)^2+\left(-5\right)^2+\left(2\right)^2+\left(0\right)^2+\left(3\right)^2}{10}}$

$\Leftrightarrow\sigma=\sqrt{\frac{1+64+16+49+16+25+4+9}{10}}$

$\Leftrightarrow\sigma=\sqrt{\frac{184}{10}}$

$\Leftrightarrow\sigma=\sqrt{18,4}$

$\Leftrightarrow\sigma\approx4,29$

Jadi, standar deviasi dari data di atas adalah 4,29.

Diketahui:

$\Sigma_{i=1}^k=2+4+8+12+10+4=40$

Ditanya:

Variansi $=\sigma^2=?$

Jawab:

Simpangan rata-rata dari data berkelompok dapat dihitung dengan rumus

$\sigma^2=\frac{\Sigma_{i=1}^kf_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{\Sigma_{i=1}^kf_i}$

dengan

$x_i=$ nilai tengah kelas ke-$i$

$\overline{x}=$ rata-rata

$f_i=$ frekuensi kelas ke-$i$

Oleh karena itu, kita harus menemukan rata-ratanya terlebih dahulu.

Menghitung rata-rata.

Rata-rata data berkelompok dapat ditemukan dengan

$\overline{x}=\frac{\Sigma_{i=1}^kx_if_i}{\Sigma_{i=1}^kf_i}$

dengan $x_i$ adalah nilai tengah kelas ke$-i$ dan $f_i$ adalah frekuensi kelas ke$-i$.

Menemukan nilai tengah.

Nilai tengah kelas ke-1 adalah $x_1=\frac{141+145}{2}=\frac{286}{2}=143$

Nilai tengah kelas ke-2 adalah $x_2=\frac{146+150}{2}=\frac{296}{2}=148$

Nilai tengah kelas ke-3 adalah $x_3=\frac{151+155}{2}=\frac{306}{2}=153$

Nilai tengah kelas ke-4 adalah $x_4=\frac{156+160}{2}=\frac{316}{2}=158$

Nilai tengah kelas ke-5 adalah $x_5=\frac{161+165}{2}=\frac{326}{2}=163$

Nilai tengah kelas ke-6 adalah $x_6=\frac{166+170}{2}=\frac{336}{2}=168$

$\overline{x}=\frac{\Sigma_{i=1}^kx_if_i}{\Sigma_{i=1}^kf_i}$

$\Leftrightarrow\overline{x}=\frac{143⋅2+148⋅4+153⋅8+158⋅12+163⋅10+168⋅4}{40}$

$\Leftrightarrow\overline{x}=\frac{286+592+1.224+1.896+1.630+672}{40}$

$\Leftrightarrow\overline{x}=\frac{6.300}{40}$

$\Leftrightarrow\overline{x}=157,5$

Menghitung Variansi

$\sigma^2=\frac{\Sigma_{i=1}^kf_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{\Sigma_{i=1}^kf_i}$

$\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{2⋅\left(143-157,5\right)^2+4⋅\left(148-157,5\right)^2+8⋅\left(153-157,5\right)^2+12⋅\left(158-157,5\right)^2+10⋅\left(163-157,5\right)^2+4⋅\left(168-157,5\right)^2}{40}$

$\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{2⋅\left(-14,5\right)^2+4⋅\left(-9,5\right)^2+8⋅\left(-4,5\right)^2+12⋅\left(0,5\right)^2+10⋅\left(5,5\right)^2+4⋅\left(10,5\right)^2}{40}$

$\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{2\left(210,25\right)+4\left(90,25\right)+8\left(20,25\right)+12\left(0,25\right)+10\left(30,25\right)+4\left(110,25\right)}{40}$

$\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{420,5+361+162+3+302,5+441}{40}$

$\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{1.690}{40}$

$\Leftrightarrow\sigma^2=42,25$

atau dapat disajikan dalam tabel berikut ini.

Jadi, variansi dari data tersebut adalah 42,25.

Diketahui:

Data 12, 10, 13, 11, 14

Ditanya:

Simpangan baku (standar deviasi)?

Jawab:

Terlebih dahulu datanya diurutkan menjadi

10, 11, 12, 13, 14.

Dimisalkan $x_i$ adalah data ke-$i$ setelah diurutkan dan banyaknya data adalah $n=5$.

Rata-rata data tersebut yaitu

$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}$

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_5}{5}$

$\overline{x}=\frac{10+11+12+13+14}{5}$

$\overline{x}=\frac{60}{5}$

$\overline{x}=12$

Variansi data tersebut adalah

$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2$

$\sigma^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5\left(x_i-\overline{x}\right)^2$

$\sigma^2=\frac{1}{5}\left(\left(10-12\right)^2+\left(11-12\right)^2+\left(12-12\right)^2+\left(13-12\right)^2+\left(14-12\right)^2\right)$

$\sigma^2=\frac{1}{5}\left(\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2+\left(0\right)^2+\left(1\right)^2+\left(2\right)^2\right)$

$\sigma^2=\frac{1}{5}\left(4+1+0+1+4\right)$

$\sigma^2=\frac{1}{5}\left(10\right)$

$\sigma^2=2$

Simpangan baku merupakan akar dari variansi, sehingga simpangan bakunya adalah

$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{2}$

Data yang diketahui diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar menjadi

$24,\ 25,\ 25,\ 28,\ 32,\ 32,\ 36,\ 36,\ 42,\ 48$

Dimisalkan

$x_1$ adalah data minimum

$x_n$ adalah data maksimum.

Jangkauan adalah selisih dari data maksimum dan data minimum, sehingga diperoleh

$\text{Jangkauan}=x_n-x_1=48-24=24$

Diketahui:

51, 35, 29, 57, 21, 40, 25, 47, 25, 53, 48, 43, 27, 34, 37

Ditanya:

Jangkauan $=J=?$

Jawab:

Jangkauan data adalah selisih dari data maksimum dan data minimum atau dapat dituliskan sebagai berikut.

$J=x_n-x_1$, dengan

$J=$ jangkauan data

$x_n=$ data ke-$n$

$x_i=$ data ke-$1$

Urutkan data di atas.

21, 25, 25, 27, 29, 34, 35, 37, 40, 43, 47, 48, 51, 53, 57

Jumlah data.

$n=15$

Menentukan jangkauan data.

Karena $n=15$, maka data ke-$n$ adalah

$x_n=x_{15}=57$

Data pertama adalah

$x_1=21$

Sehingga, jangkauan data adalah

$J=x_n-x_1$

$\Leftrightarrow J=x_{15}-x_1$

$\Leftrightarrow J=57-21$

$\Leftrightarrow J=36$

Jadi, jangkauan data di atas adalah 36.