Gerak harmonik merupakan salah satu bentuk gerakan yang terjadi berulang terhadap suatu titik keseimbangan. Terdapat dua jenis gerak harmonik, yaitu:

1. Gerak harmonik sederhana, gerak harmonik dengan asumsi benda yang bergerak memiliki amplitudo yang tetap.
2. Gerak harmonik kompleks, gerak harmonik dengan asumsi benda yang bergerak memiliki amplitudo yang berubah-ubah.

Jadi, pilihan yang bukan merupakan gerak harmonik sederhana adalah bandul yang bergerak diperlambat karena perlambatan pada gerak bandul akan menyebabkan amplitudo berkurang seiring waktu sehingga gerakan ini disebut gerak harmonik kompleks.

Pada gerak harmonis sederhana, ketika berada pada titik simpangan maksimumnya kecepatannya sama dengan nol, sedangkan energi kinetiknya minimum dan energi potensialnya maksimum. Karena percepatan pada gerak harmonis sederhana dipengaruhi oleh posisi (simpangan), maka pada simpangan maksimumnya, bandul masih memiliki percepatan dan akan bernilai maksimum jika $\theta=\omega t=90^{\circ}$. Secara konsep gerak harmonis sederhana berlaku hukum kekekalan energi, sehingga jumlah energi kinetik dan energi potensialnya yaitu energi mekanik adalah selalu tetap.

Jadi, pernyataan yang benar saat osilator berada pada simpangan maksimum adalah energi kinetiknya minimum sedangkan energi potensalnya maksimum.

Diketahui:

Persamaan simpangan $y=0,2\sin\theta$

Ditanya:

Pernyataan yang benar?

Jawab:

Pada kasus ini, untuk menentukan pernyataan yang benar, masing-masing pernyataan perlu dianalisis sesuai dengan konsep.

(1) Pada benda yang bergetar secara harmonik sederhana berlaku hukum kekekalan energi mekanik, sehingga energi mekanik total sistem selalu sama setiap waktu. $\rightarrow$ pernyataan (1) salah.

(2) Berdasarkan persamaan simpangan pada soal, yaitu:

$y=0,2\sin\theta$

Dapat dilihat bahwa amplitudo gerak harmonik pegas adalah $A=0,2$ m, dan sudut fase $\theta$. Ketika $\theta=\frac{\pi}{2}$, maka persamaannya simpangannya menjadi:

$y=0,2\sin\frac{\pi}{2}$

Karena $\pi=180^{\circ}\ \rightarrow\ \sin\ \frac{\pi}{2}=1$ , maka besar simpangannya bernilai maksimum dan sama dengan amplitudonya seperti berikut.

$y=0,2\ \left(1\right)$

$y=A=0,2$

Maka, pernyataan (2) benar.

(3) Ketika $y=0$ atau berada pada titik setimbangnya pada gerak harmonik, kecepatan getaran pegas bernilai maksimum. Sedangkan ketika simpangannya $y=A$, kecepatannya bernilai minimum yaitu sama dengan nol ($v=0$). $\rightarrow$ pernyataan (3) salah.

(4) Percepatan getaran pada gerak harmonik sederhana, dirumuskan dengan persamaan berikut.

$a=-A\omega^2\sin\theta$

Karena, $y=A\sin\theta$, maka persamaannya juga dapat dituliskan menjadi:

$a=-\omega^2y$

Sehingga dapat dilihat bahwa percepatan getaran bergantung pada besar simpangan $y$. $\rightarrow$ pernyataan (4) benar.

Jadi, pernyataan berikut yang benar adalah (2) dan (4).

Diketahui:

Konstanta pegas $k$ = 16 N/m

Massa beban $m$ = 25 kg

Amplitudo $A$ = 40 cm = 0,4 m

Sudut fase awal $\theta_0=0$

Percepatan gravitasi $g$ = 10 m/s²

Ditanya:

Persamaan simpangan $y=$?

Dijawab:

Persamaan simpangan pada gerak harmonik sederhana dirumuskan dengan persamaan berikut.

$y=A\sin\theta$

Karena $\theta=\omega t+\theta_0$, maka persamaannya juga dapat dinyatakan sebagai berikut.

$y=A\sin\left(\omega t+\theta_0\right)$

Dengan $A$ adalah amplitudo, $\omega$ adalah kecepatan sudut atau frekuensi sudut, $t$ adalah waktu dan $\theta_0$ adalah sudut fase awal.

Pada kasus ini, untuk menentukan persamaan simpangan sistem pegas tersebut, perlu dihitung besar kecepatan sudutnya. Secara matematis, kecepatan sudut dapat dihitung dengan persamaan berikut.

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Sehingga,

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

$\omega=\sqrt{\frac{16}{25}}$

$\omega=\sqrt{0,64}$

$\omega=0,8$ rad/s

Maka, persamaan simpangannya dapat dituliskan sebagai berikut.

$y=A\sin\left(\omega t+\theta_0\right)$

Karena $\theta_0=0$, maka persamaannya menjadi:

$y=A\sin\omega t$

$y=0,4\sin0,8t$

Jadi, persamaan simpangan gerak pegas tersebut adalah $y=0,4\sin0,8t$.

Diketahui:

Amplitudo = $A$

Kecepatan$$$$$$ $v\ =\ \frac{1}{2}v_{\text{maks}}$

Ditanya:

$y$ saat $v\ =\ \frac{1}{2}v_{\text{maks}}$ = ?

Jawab:

Gerak harmonik sederhana merupakan gerak yang terjadi secara periodik (berulang pada suatu siklus). Disebut sederhana karena gerakan terjadi berulang-ulang tanpa berhenti (tidak ada peredaman). Bentuk dari gerak harmonik sederhana dapat dimodelkan dalam persamaan gerak harmonik sederhana:

$y=A\sin\left(\omega t\right)$

Apabila diturunkan satu kali, maka akan didapatkan persamaan kecepatan gerak harmonik sederhana:

$v=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

Pertama-tama, cari terlebih dahulu berapa besar sudut yang dibentuk saat $v\ =\ \frac{1}{2}v_{\text{maks}}$

$v=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

$\frac{1}{2}v_{\text{maks}}=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

$\frac{1}{2}A\omega=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

$\cos\left(\omega t\right)=\frac{1}{2}$

$\omega t=\arccos\left(\frac{1}{2}\right)=60\degree$

Lalu, cari simpangan yang dibentuk oleh sudut tersebut

$y=A\sin\left(\omega t\right)$

$=A\sin\left(60\degree\right)$

$=\frac{1}{2}\sqrt{3}A$ m

Jadi, jawaban yang benar adalah $\frac{1}{2}\sqrt{3}A$ m.

Diketahui:

Massa beban $m$ = 400 gram = 0,4 kg

Panjang tali $L=L$

Frekuensi sudut $\omega$ = 2 rad/s

Energi potensial maksimum $EP=72\times10^{-5}$ J

SImpangan terjauh/ Amplitudo $A$ = 5 cm = 0,05 m $\rightarrow$ karena pada simpangan terjauh energi potensialnya maksimum

Ditanya:

Sudut fase $\theta=$?

Dijawab:

Pada gerak harmonik sederhana, ketika bandul atau pegas berada pada simpangan terjauhnya energi potensialnya bernilai maksimum sedangkan energi kinetiknya minimum. Energi potensial dari sistem yang mengalami gerak harmonik sederhana dirumuskan dengan persamaan berikut.

$EP=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2\theta$

Dengan $\omega$ adalah frekuensi sudut atau kecepatan sudut dari gerak harmonis sederhana bandul/pegas dan $A$ adalah amplitudo (simpangan terjauh bandul/pegas), dan $\theta$ adalah sudut fase yang besarnya sama dengan $\theta=\omega t+\theta_0$.

Maka, pada kasus ini sudut simpangan dapat diperoleh sebagai berikut.

$EP=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2\theta$

$\sin^2\theta=\frac{2EP}{m\omega^2A^2}$

$\sin^2\theta=\frac{2\left(72\times10^{-5}\right)}{\left(0,4\right)\left(2\right)^2\left(0,05\right)^2}$

$\sin^2\theta=\frac{2\left(0,00072\right)}{\left(0,4\right)\left(4\right)\left(0,0025\right)}$

$\sin^2\theta=\frac{0,00144}{0,004}$

$\sin^2\theta=0,36$

$\sin\theta=\sqrt{0,36}$

$\sin\theta=0,6$

$\theta=\sin^{-1}\left(0,6\right)$

$\theta=37^{\circ}$

Jadi, besar sudut fase dari bandul sederhana tersebut adalah $37^{\circ}$.

Diketahui:

Massa bandul $m$ = 0,1 kg

Panjang tali $L$ = 0,4 m

Persamaan simpangan $y=0,25\sin\theta$

Percepatan gravitasi $g$ = 10 m/s²

SImpangan $y$ = 3,6 cm = 0,036 m

Ditanya:

Percepatan $a=$?

Jawab:

Persamaan percepatan pada gerak harmonik sederhana merupakan turunan kedua dari simpangan gerak terhadap waktu. Percepatan getaran pada gerak harmonik sederhana, dirumuskan dengan persamaan berikut.

$a=-A\omega^2\sin\theta$

Karena, $y=A\sin\theta$, maka persamaannya juga dapat dituliskan menjadi:

$a=-\omega^2y$

Sehingga dapat dilihat bahwa percepatan getaran bergantung pada besar simpangan $y$.

Pada kasus ini, kecepatan sudut dari sistem bandul masih belum diketahui, sehingga kecepatan sudutnya dapat dihitung sebagai berikut.

$\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}$

$\omega=\sqrt{\frac{10}{0,4}}$

$\omega=\sqrt{25}$

$\omega=5$ rad/s

Maka, besar percepatan gerak bandul saat $y=3,6$ cm adalah sebagai berikut.

$a=-\omega^2y$

$a=-\left(5\right)^2\left(0,036\right)$

$a=-\left(25\right)\left(0,036\right)$

$a=-0,9$ m/s²

Tanda negatif menunjukkan arah percepatan yang selalu berlawanan dengan arah simpangan.

Jadi, besar percepatan bandul ketika berada pada simpangan 3,6 cm dari titik setimbangnya adalah 0,9 m/s².

Diketahui:

Massa beban $m$ = 250 gram = 0,25 kg

Panjang tali $L=L$

Frekuensi sudut $\omega$ = 3 rad/s

Energi potensial maksimum $EP=18\times10^{-4}$ J

Simpangan terjauh/ Amplitudo $A$ = 10 cm = 0,1 m

Ditanya:

Gaya pemulih $F=$?

Dijawab:

Menentukan nilai $\sin\theta$

Pada gerak harmonik sederhana, ketika bandul atau pegas berada pada simpangan terjauhnya energi potensialnya bernilai maksimum sedangkan energi kinetiknya minimum. Energi potensial dari sistem yang mengalami gerak harmonik sederhana dirumuskan dengan persamaan berikut.

$EP=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2\theta$

Dengan $\omega$ adalah frekuensi sudut atau kecepatan sudut dari gerak harmonis sederhana bandul/pegas dan $A$ adalah amplitudo (simpangan terjauh bandul/pegas), dan $\theta$ adalah sudut fase yang besarnya sama dengan $\theta=\omega t+\theta_0$.

Maka, pada kasus ini nilai $\sin\theta$ dapat diperoleh sebagai berikut.

$EP=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2\theta$

$\sin^2\theta=\frac{2EP}{m\omega^2A^2}$

$\sin^2\theta=\frac{2\left(18\times10^{-4}\right)}{\left(0,25\right)\left(3\right)^2\left(0,1\right)^2}$

$\sin^2\theta=\frac{2\left(0,0018\right)}{\left(0,25\right)\left(9\right)\left(0,01\right)}$

$\sin^2\theta=\frac{0,0036}{0,0225}$

$\sin^2\theta=0,16$

$\sin\theta=\sqrt{0,16}$

$\sin\theta=0,4$

Menentukan gaya pemulih

Gaya pemulih (restoring force) merupakan gaya yang dibutuhkan pada sistem yang mengalami gerak harmonik untuk kembali ke titik keseimbangannya. Pada ayunan sederhana atau bandul, gaya pemulih bisa didapatkan melalui persamaan berikut.

$F=-mg\sin\theta$ 

Dimana $$$mg$ merupakan berat beban (massa beban dikalikan percepatan gravitasi), $\theta$ besarnya sudut simpangan awal. Karena $\sin\theta=\frac{y}{L}$, maka diperoleh persamaan berikut.

$F=-mg\ \frac{y}{L}$

Dengan $y$ adalah besar simpangan, dan $L$ adalah panjang tali ayunan.

Tanda negatif menunjukkan bahwa arah gaya pemulih selalu berlawanan arah dengan arah simpangan.

Sehingga pada kasus ini besarnya gaya pemulih bandul tersebut dari simpangan terjauh ke titik setimbangnya adalah:

$F=-mg\sin\theta$

$F=-\left(0,25\right)\left(10\right)\left(0,4\right)$

$F=-\left(2,5\right)\left(0,4\right)$

$F=-1$ N

Tanda negatif menunjukkan bahwa arah gaya pemulih selalu berlawanan arah dengan arah simpangan.

Jadi, besar gaya pemulih bandul tersebut dari simpangan terjauhnya ke titik setimbangnya adalah 1 N.

Diketahui:

Persamaan simpangan $x=0,1\sin\theta$

Kecepatan maksimum $v_{\text{maks}}$ = 2,5 m/s

Massa bandul $m$ = 0,2 kg

SImpangan $y$ = 8 cm = 0,08 m

Ditanya:

Kecepatan $v=$?

Jawab:

Persamaan kecepatan pada gerak harmonis sederhana pada merupakan turunan pertama dari persamaan simpangan gerak terhadap waktu. Secara matematis persamaan kecepatannya adalah sebagai berikut.

$v=A\omega\cos\theta$

Dengan $A$ adalah amplitudo atau simpangan terjauh, $\omega$ adalah kecepatan sudut atau frekuensi sudut, $t$ adalah waktu, dan $\theta$ adalah sudut fase dimana $\theta=\omega t+\theta_0$.

Untuk menentukan besar kecepatan bandul pada simpangan tertentu, mula-mula hitung besar kecepatan sudutnya terlebih dahulu melalui persamaan kecepatan maksimumnya. Ketika suatu benda yang bergerak harmonik berada pada titik setimbangnya, kecepatan benda tersebut akan bernilai maksimum, dimana secara matermatis persamaannya adalah sebagai berikut.

$v_{\text{maks}}=A\omega$

Sehingga,

$\omega=\frac{v_{\text{maks}}}{A}$

$\omega=\frac{\left(2,5\right)}{\left(0,1\right)}$

$\omega=25$ rad/s

Berdasarkan persamaan simpangan, yaitu:

$x=0,1\sin\theta$

Dapat dilihat bahwa amplitudo gerak harmonik bandul adalah $A=0,1$ m. Ketika $y=0,08$ m, nilai sudut yang terbentuk adalah sebagai berikut.

$y=0,1\sin\theta$

$0,08=0,1\sin\theta$

$\sin\theta=\frac{\left(0,08\right)}{\left(0,1\right)}$

$\sin\theta=0,8$

$\sin\theta=\frac{8}{10}$

Mengikuti prinsip phytagoras pada sudut siku-siku sebagai berikut:

maka diperoleh bahwa $\cos\theta=\frac{6}{10}\ \ \rightarrow\ \ \cos\theta=0,6$.

Sehingga, kecepatan bandul ketika di $x=0,08$ m adalah sebagai berikut.

$v=A\omega\cos\theta$

$v=\left(0,1\right)\left(25\right)\left(0,6\right)$

$v=\left(2,5\right)\left(0,6\right)$

$v=1,5$ m/s

Jadi, kecepatan bandul ketika berada pada simpangan 8 cm dari titik setimbangnya adalah 1,5 m/s.

Diketahui:

Massa bandul $m$ = 10 g (Tidak digunakan)

Panjang tali $L$ = 10 cm

Simpangan $y\ =\ \frac{1}{2} A$

Ditanya:

$\frac{EP}{EK}=\ ?$

Jawab:

Suatu benda membutuhkan energi untuk melakukan gerak. Energi yang berlaku pada gerak disebut energi mekanik yang terdiri dari energi kinetik ($EK=\frac{1}{2}mv^2$ ) dan energi potensial ($EP=mgh$ ). Perbandingan energi kinetik dan energi potensial pada gerak harmonik sederhana sebanding dengan kuadrat dari tan sudut yang dibentuk dari titik seimbangnya atau $\frac{EP}{EK}=\ \tan^2\left(\theta\right)$. Dimana $\theta=\omega t$.

Untuk mencari nilai $\theta$, mula-mula dapat digunakan persamaan umum gerak harmonik sederhana

$y=A\sin\left(\omega t\right)$

$\frac{1}{2}A=A\sin\left(\omega t\right)$

$\sin\left(\omega t\right)=\frac{1}{2}$

$\omega t=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$

$\omega t=30\degree$

Sehingga didapatkan $\theta=30\degree$ . Perbandingan besar energi kinetik dan energi potensialnya pada titik terebut adalah sebesar

$\frac{EP}{EK}=\tan^{2\ }\left(\theta\right)$

$\frac{EP}{EK}=\tan^{2\ }\left(30\degree\right)$

$\frac{EP}{EK}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2$

$\frac{EP}{EK}=\frac{1}{3}$

Jadi, perbandingan besar EP dan EK adalah sebesar 1 : 3.