Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Vektor direpresentasikan dengan panah di mana panjang panah menunjukkan besarnya dan kepala panah menunjukkan arahnya. Gabungan dari dua vektor atau lebih disebut resultan vektor. Sedangkan skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai atau besar.

1) Besaran-besaran yang termasuk besaran skalar adalah:

• massa, waktu, dan jarak, karena ketiganya merupakan besaran pokok, di mana semua besaran pokok adalah skalar,
• energi kinetik, karena semua bentuk energi adalah besaran skalar.

2) Besaran-besaran yang termasuk besaran vektor adalah:

• gaya, karena besaran ini memiliki besar dan arah, contohnya seseorang mendorong ke kanan.
• perpindahan, karena besaran ini juga memiliki besar dan arah, contohnya seseorang berpindah 10 meter ke selatan.

Jadi, pasangan yang tepat sebagai besaran vektor-skalar adalah perpindahan dan massa.

Besaran skalar merupakan besaran yang cukup dinyatakan dengan nilainya saja tanpa menyatakan arahnya, sedangkan besaran vektor harus dinyatakan oleh nilai beserta arahnya.

Skalar direpresentasikan dengan nilai dan satuan (syarat besaran), tidak bisa nilai saja atau satuan saja, sedangkan vektor direpresentasikan dengan nilai dan arah yang merupakan unit satuan dan satuan.

Skalar memiliki simbol besaran atau simbol nilai mutlak, sedangkan vektor memiliki simbol besaran yang dicetak tebal atau dengan panah di atasnya.

Contoh besaran vektor adalah kecepatan dan percepatan.

Jadi, X, Y, dan Z berturut-turut adalah Nilai dan satuan; Simbol besaran dicetak tebal atau dengan panah di atasnya; Kecepatan dan Percepatan.

Diketahui:

Gambar vektor gaya

Ditanya:

Vektor satuan yang tepat untuk menuliskan gambar vektor gaya?

Jawaban:

Vektor satuan pada sumbu-$X$ memiliki besar 10 N dan terletak pada sumbu-$X$ positif. Sedangkan vektor satuan pada sumbu-$Y$ memiliki besar 25 N dan terletak pada sumbu-$Y$ negatif. Vektor satuan pada sumbu-$X$ diberi lambang i dan vektor satuan pada sumbu-$Y$ diberi lambang j.

Jadi, vektor satuan yang tepat untuk vektor gaya di atas adalah (10i$-$ 25j) N.

Diketahui:

Ari berjalan 10 meter ke timur, kemudian 2 meter ke utara

Agus berlari 6 meter ke utara, kemudian 6 meter ke barat

Denis berenang 7 meter ke selatan, kemudian 5 meter ke timur

Ditanya:

Urutan yang menunjukkan perpindahan dari paling besar sampai paling kecil?

Jawaban:

Perpindahan merupakan perubahan posisi suatu benda dalam selang waktu tertentu.

Untuk mencari besar vektor perpindahan digunakan persamaan berdasarkan dalil Pythagoras yaitu:

$r=\sqrt{r_x^2+r_y^2}$, di mana $r_x$ adalah perpindahan pada sumbu-$X$ dan $r_y$ adalah perpindahan pada sumbu-$Y$.

1) Ari berjalan 10 meter ke timur, kemudian 2 meter ke utara.

Arah timur berada pada sumbu-$X$ positif, sehingga $r_x=10\ \text{m}$ dan arah utara berada pada sumbu-$Y$positif, sehingga $r_y=2\ \text{m}$

$r=\sqrt{\left(10\right)^2+\left(2\right)^2}=\sqrt{\left(100\right)+\left(4\right)}=\sqrt{104}\ \text{m}$

2) Agus berlari 6 meter ke utara, kemudian 6 meter ke barat.

Arah barat berada pada sumbu-$X$ negatif, sehingga $r_x=-6\ \text{m}$ dan arah utara berada pada sumbu-$Y$positif, sehingga $r_y=6\ \text{m}$.

$r=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(6\right)^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}\ \text{m}$

3) Denis berenang 7 meter ke selatan, kemudian 5 meter ke timur.

Arah timur berada pada sumbu-$X$ positif, sehingga $r_x=5\ \text{m}$ dan arah selatan berada pada sumbu-negatif, sehingga $r_y=-7\ \text{m}$.

$r=\sqrt{\left(5\right)^2+\left(-7\right)^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}\ \text{m}$

Jadi, urutan yang menunjukkan perpindahan dari paling besar sampai paling kecil adalah 1-3-2.

Diketahui:

Nilai vektor $-1$i $-3$j

Ditanya:

Letak vektor pada kuadran?

Jawab:

Untuk menentukan lokasi dari vektor tersebut, lebih mudah kita gambar vektor pada bidang-$XY$. Vektor satuan pada sumbu-$X$ diberi lambang i dan vektor satuan pada sumbu-$Y$ diberi lambang j. Sehingga, gambar vektor tersebut adalah sebagai berikut.

Vektor $-1$i $-3$j

Jadi, berdasarkan gambar, vektor tersebut terletak pada kuadran 3.

Diketahui:

Gambar pergerakan benda

1 kotak mewakili 1 km

Ditanya:

Besar dan arah perpindahan benda?

Jawaban:

Perpindahan merupakan perubahan posisi suatu benda dalam selang waktu tertentu. Pada gambar, perpindahan A ke B melewati 6 kotak yang artinya berpindah sebesar 6 km ke timur ($r_x$). Perpindahan B ke C melewati 6 kotak yang berarti berpindah sebesar 6 km ke utara ($r_y$). Untuk menentukan perpindahan ($r$) dari A ke C dapat diketahui melalui gambar di bawah ini

Menghitung besar perpindahan dengan dalil Pythagoras:

$r=\sqrt{r_x^2+r_y^2}$

$=\sqrt{6^2+6^2}$

$=\sqrt{36+36}$

$=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\ \text{km}$

Menentukan arah vektor:

$\tan\theta=\frac{r_y}{r_z}$

$\tan\theta=\frac{6}{6}=1$

$\theta=\tan^{-1}1=45^o$

Jadi, besar perpindahan adalah $6\sqrt{2}\ \text{ km}$ dan arahnya $45^o$ dari sumbu-$X$ positif.

Diketahui:

Gambar vektor

Ditanya:

Besar dan arah vektor?

Dijawab:

Dari gambar vektor pada soal dapat diuraikan komponen-komponen vektornya sebagai berikut.

Komponen vektor pada sumbu-$X$ adalah $A_x=4\sqrt{3}\ \text{m}$

Komponen vektor pada sumbu-$Y$ adalah $A_y=4\ \text{m}$

Menghitung besar vektor dengan dalil Pythagoras:

$A=\sqrt{A_x^2+A_y2}$

$=\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^2+\left(4\right)^2}$

$=\sqrt{\left(16\left(3\right)\right)+\left(16\right)}$

$=\sqrt{48+16}=\sqrt{64}=8\ \text{m}$

Menentukan arah vektor:

$\sin\ \theta=\frac{\text{sisi depan sudut}}{\text{sisi miring}}$

$\sin\theta=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\ \theta=30^o$, atau dapat juga dengan:

$\tan\theta=\frac{A_y}{A_x}$

$\tan\theta=\frac{4}{4\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$, $\theta=30^o$

Jadi, besar dan arah yang tepat untuk vektor A tersebut adalah 8 m dan $30^o$ dari sumbu-$X$ positif.

Diketahui:

Kecepatan pesepeda $v=$ 10 m/s

Arah $\theta=$ 37^o dari sumbu-$X$ positif

Ditanya:

Kecepatan pada arah horizontal ($v_x$)?

Jawaban: 

Pertama, kita gambar vektor kecepatan pesepeda dengan menguraikan vektor tersebut dalam sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ seperti gambar di bawah ini.

Kecepatan pesepeda pada arah horizontal ditunjukkan oleh v. Meninjau gambar segitiga istimewa di atas, diperoleh bahwa:

$\cos\theta=\frac{v_x}{v}$, maka besar kecepatan $v_x$ adalah$$

$v_x=v\cos\theta$

$=10\cos37^o$

$=10\left(\frac{4}{5}\right)=8\ \text{m/s}$

Jadi, besar kecepatan pesepeda pada arah horizontal adalah 8 m/s

Diketahui:

Panjang bayangan menara $l=$ 600 meter.

Sudut yang dibentuk garis imajiner puncak menara dan puncak bayangan $\theta=$ $37^o.$

Ditanya:

Perkiraan tinggi menara Eiffel, $h=$ ?

Jawaban:

Sumber: www.pngegg.com/en/png-wsefa

Dengan menggunakan dalil Pythagoras, kita misalkan komponen vektor l pada sumbu-$X$ dan komponen vektor h pada sumbu-$Y$, dengan arahnya terhadap sumbu-$X$.

Untuk menyelesaikan masalah di atas, kita gunakan sudut $\theta$ untuk menentukan konsep salah satu segitiga istimewa.

untuk memperkirakan tinggi menara dapat digunakan konsep tangen, yang juga digunakam untuk menentukan arah vektor.

$\tan\theta=\frac{h}{l}$, mencari tangen pada segitiga istimewa adalah sisi depan sudut dibagi dengan sisi samping sudut.

$\frac{3}{4}=\frac{h}{l}$

$\frac{3}{4}=\frac{h}{600}$

$h=\frac{3\left(600\right)}{4}=\frac{1800}{4}=450\ \text{m}$

Jadi, berdasarkan kalkulasi maka dapat disimpulkan bahwa tinggi menara Eiffel adalah 450 m.

Diketahui :

Kecepatan pesawat 100 m/s arah timur laut

Arah 37^o dari sumbu-$X$ positif

Ditanya :

Kecepatan pada arah utara?

Jawaban : 

Pertama, kita gambar vektor kecepatan pesawat kemudian menguraikan vektor tersebut dalam sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ seperti gambar di bawah ini.

Kecepatan pesawat terbang pada arah timur laut ditunjukkan oleh v yang membentuk sudut 37^o terhadap v_x. Kecepatan pesawat terbang pada arah utara ditunjukkan oleh v_y. Besar kecepatan v_y adalah:

Dalam aturan segitiga istimewa, bahwa $\sin\theta=\frac{\text{panjang sisi depan sudut}}{\text{panjang sisi miring}}$, sehingga

$\sin\theta=\frac{v_y}{v}$

$v_y=v\sin\theta=100\sin37^o=100\left(\frac{3}{5}\right)=60\ \text{m/s}$

Jadi, kecepatan pesawat terbang pada arah utara adalah 60 m/s