Pada gerak harmonis sederhana, ketika berada pada titik simpangan maksimumnya kecepatannya sama dengan nol, sedangkan energi kinetiknya minimum dan energi potensialnya maksimum. Karena percepatan pada gerak harmonis sederhana dipengaruhi oleh posisi (simpangan), maka pada simpangan maksimumnya, bandul masih memiliki percepatan dan akan bernilai maksimum jika $\theta=\omega t=90^{\circ}$. Secara konsep gerak harmonis sederhana berlaku hukum kekekalan energi, sehingga jumlah energi kinetik dan energi potensialnya yaitu energi mekanik adalah selalu tetap.

Jadi, pernyataan yang benar saat osilator berada pada simpangan maksimum adalah energi kinetiknya minimum sedangkan energi potensalnya maksimum.

Gerak harmonik merupakan salah satu bentuk gerakan yang terjadi berulang terhadap suatu titik keseimbangan. Terdapat dua jenis gerak harmonik, yaitu:

1. Gerak harmonik sederhana, gerak harmonik dengan asumsi benda yang bergerak memiliki amplitudo yang tetap.
2. Gerak harmonik kompleks, gerak harmonik dengan asumsi benda yang bergerak memiliki amplitudo yang berubah-ubah.

Jadi, pilihan yang bukan merupakan gerak harmonik sederhana adalah bandul yang bergerak diperlambat karena perlambatan pada gerak bandul akan menyebabkan amplitudo berkurang seiring waktu sehingga gerakan ini disebut gerak harmonik kompleks.

Diketahui:

Sistem bandul di dalam mobil:

Massa beban $m$ = 150 g = 0,15 kg

Gaya pemulih $F$ = 0,105 N

Percepatan gravitasi $g$ = 10 m/s²

Ditanya:

Sudut simpangan $\theta=$?

Jawab:

Gaya pemulih (restoring force) merupakan gaya yang dibutuhkan pada sistem yang mengalami gerak harmonik untuk kembali ke titik keseimbangannya. Pada ayunan sederhana atau bandul, gaya pemulih bisa didapatkan melalui persamaan berikut.

$F=-mg\sin\theta$  

Dimana $$$mg$ merupakan berat beban (massa beban dikalikan percepatan gravitasi), $\theta$ besarnya sudut simpangan awal. Karena $\sin\theta=\frac{y}{L}$, maka diperoleh persamaan berikut.

$F=-mg\ \frac{y}{L}$

Dengan $y$ adalah besar simpangan, dan $L$ adalah panjang tali ayunan.

Tanda negatif menunjukkan bahwa arah gaya pemulih selalu berlawanan arah dengan arah simpangan. Sehingga besarnya gaya pemulih dapat dihitung dengan persamaan $F=mg\sin\theta$. Maka pada kasus ini besarnya gaya sudut simpangan adalah:

$F=mg\sin\theta$

$\sin\theta=\frac{F}{mg}$

$\sin\theta=\frac{\left(0,105\right)}{\left(0,15\right)\left(10\right)}$

$\sin\theta=\frac{\left(0,105\right)}{\left(1,5\right)}$

$\sin\theta=0,07$

$\theta=\sin^{-1}\left(0,07\right)$

$\theta=4^{\circ}$

Jadi, besar sudut simpangan bandul tersebut adalah $4^{\circ}$.

Diketahui:

Amplitudo = Panjang Tali $A$ = 10 cm

Sudut yang dibentuk $\theta\ =\omega t\ =37\degree$

Ditanya:

Besar simpangan $y$ = ?

Jawab:

Gerak harmonik sederhana dapat dimodelkan dalam persamaan Gerak Harmonik Sederhana, $y\ =A\sin\left(\omega t\right)$ dimana $A$ merupakan amplitudo (simpangan maksimal) dan $\omega t$ merupakan sudut yang dibentuk.

Sehingga:

$y\ =A\sin\left(\omega t\right)$

$=10\sin\left(37\degree\right)$

$=6$ cm

Jadi, besarnya simpangan adalah sebesar 6 cm.

Diketahui:

Amplitudo = $A$

Kecepatan$$$$$$ $v\ =\ \frac{3}{5}v_{\text{maks}}$

Ditanya:

$y$ saat $v\ =\ \frac{3}{5}v_{\text{maks}}$ ?

Jawab:

Gerak harmonik sederhana merupakan gerak yang terjadi secara periodik (berulang pada suatu siklus). Disebut sederhana karena gerakan terjadi berulang-ulang tanpa berhenti (tidak ada peredaman). Bentuk dari gerak harmonik sederhana dapat dimodelkan dalam persamaan gerak harmonik sederhana:

$y=A\sin\left(\omega t\right)$

Apabila diturunkan satu kali, maka akan didapatkan persamaan kecepatan gerak harmonik sederhana:

$v=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

Pertama-tama, cari terlebih dahulu berapa besar sudut yang dibentuk saat $v\ =\ \frac{3}{5}v_{\text{maks}}$

$v=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

$\frac{3}{5}v_{\text{maks}}=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

$\frac{3}{5}A\omega=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

$\cos\left(\omega t\right)=\frac{3}{5}$

$\omega t=\arccos\left(\frac{3}{5}\right)=53\degree$

Lalu, cari simpangan yang dibentuk oleh sudut tersebut

$y=A\sin\left(\omega t\right)$

$=A\sin\left(53\degree\right)$

$=0,8A$ cm

Jadi, jawaban yang benar adalah 0,8$A$ cm.

Diketahui:

Persamaan simpangan $y=0,4\sin\theta$

Sudut simpangan $\theta=3^{\circ}$

Gaya pemulih $F$ = 0,4 N

Percepatan gravitasi $g$ = 10 m/s²

Ditanya:

Massa bandul $m=$?

Dijawab:

Pada kasus ini, massa bandul dapat dihitung melalui persamaan gaya pemulih. Gaya pemulih (restoring force) merupakan gaya yang dibutuhkan pada sistem yang mengalami gerak harmonik untuk kembali ke titik keseimbangannya. Pada ayunan sederhana atau bandul, gaya pemulih bisa didapatkan melalui persamaan berikut.

$F=-mg\sin\theta$ 

Tanda negatif menunjukkan bahwa arah gaya pemulih selalu berlawanan arah dengan arah simpangan. Sehingga massa bandul dapat dihitung dengan persamaan berikut.

$F=-mg\sin\theta$

$m=-\frac{F}{g\sin\theta}$

$m=-\frac{\left(-0,4\right)}{\left(10\right)\left(\sin3^{\circ}\right)}\ \rightarrow$ gaya pemulih bernilai negatif karena arahnya selalu berlawanan dengan arah simpangan.

$m=\frac{0,4}{\left(10\right)\left(0,05\right)}$

$m=\frac{0,4}{0,5}$

$m=0,8$ kg

Jadi, massa bandul dari ayunan sederhana tersebut adalah 0,8 kg.

Diketahui:

Amplitudo $A$ = 10 m

Frekuensi $f$ = 2 Hz

Ditanya:

Percepatan maksimal $a_y$ = ?

Penumpang muntah/tidak?

Jawab:

Gerak harmonik adalah gerakan secara bolak-balik terhadap suatu titik keseimbangan. Jarak terjauh dari titik keseimbangan disebut amplitudo ($A$) dan banyaknya siklus yang terjadi tiap sekonnya disebut frekuensi ($f$). Simpangan pada tiap waktu di gerak harmonik sederhana dapat dimodelkan dengan persamaan matematis $y=A\sin\left(\omega t\right)$ dimana $\omega=2\pi f$. Kecepatan simpangan pada gerak harmonik didapat melalui turunan persamaan simpangan yaitu $v_y=A\omega\cos\left(\omega t\right)$. Lalu, percepatan simpangan didapat melalui turunan persamaan kecepatan simpangan yaitu $a_y=-A\omega^2\sin\left(\omega t\right)$.

Sehingga untuk mencari percepatan vertikalnya

$a_y=-A\omega^2\sin\left(\omega t\right)\$

$=-A\left(2\pi f\right)^2\sin\left(2\pi ft\right)\$

$=-10\left(2\pi\left(2\right)\right)^2\sin\left(2\pi\left(2\right)t\right)\$

$=-400\sin\left(4\pi t\right)\$m/s²

Karena nilai sin berada pada rentang -1 sampai 1 dan amplitudo percepatan bernilai negatif, maka nilai negatif terbesar yang harus diberikan agar keseluruhan $a_{y\ }$menjadi maksimal. Sehingga, percepatan maksimal didapat ketika $\sin\left(4\pi t\right)=-1$

$a_{\text{y,maks}}=-400\left(-1\right)$

$=400$ m/s²

Jadi, percepatan maksimal yang mungkin terjadi pada perahu sekoci adalah sebesar 400 m/s². Penumpang akan mengalami muntah pada keadaan ini.

Diketahui:

Amplitudo $A$ = 10 m

Frekuensi $f$ = 2 Hz

Kecepatan linier $v_x$ = 25 m/s

Saat $t$ = 0 menit, $y$ = 0 m

Ditanya:

Resultan kecepatan sekoci saat $t$ = 4 s = ?

Jawab:

Pada persoalan ini, perahu sekoci mengalami gerak harmonik sekaligus gerak linier.

Gerak harmonik adalah gerakan secara bolak-balik terhadap suatu titik keseimbangan. Jarak terjauh dari titik keseimbangan disebut amplitudo ($A$) dan banyaknya siklus yang terjadi tiap sekonnya disebut frekuensi ($f$). Simpangan pada tiap waktu di gerak harmonik sederhana dapat dimodelkan dengan persamaan matematis $y=A\sin\left(\omega t\right)$ dimana $\omega=2\pi f$. Kecepatan simpangan pada gerak harmonik didapat melalui turunan persamaan simpangan yaitu $v_y=A\omega\cos\left(\omega t\right)$.

Gerak linier adalah gerakan sepanjang garis lurus. Jarak pada tiap waktu di gerak linier dapat dimodelkan dengan persamaan matematis $s=vt$. Pada gerak linier beraturan, kecepatan $v$ tidak berubah (konstan).

Pertama-tama, kita akan cari besarnya kecepatan vertikal perahu sekoci terlebih dahulu menggunakan persamaan kecepatan simpangan

$v_y=A\omega\cos\left(\omega t\right)$

$=A\left(2\pi f\right)\cos\left(2\pi ft\right)$

$=10\left(2\pi\left(2\right)\right)\cos\left(2\pi\left(2\right)t\right)$

$=40\pi\cos\left(4\pi t\right)$ m/s

Sehingga saat $t\ =\ 4$ s,

$v_y=40\pi\cos\left(4\pi\left(4\right)\right)$

$=40\pi\cos\left(16\pi\right)$

$=40\pi\left(1\right)$

$=40\pi$ m/s

Jadi, kecepatan vertikal perahu sekoci adalah sebesar $40\pi$ m/s.

Karena pada soal perahu sekoci bergerak linier dengan kecepatan konstan 25 m/s, maka kecepatan resultannya bisa didapatkan dengan persamaan pythagoras

$v_r=\sqrt{v_y^2+v_x^2}$

$=\sqrt{\left(40\pi\right)^2+\left(25^2\right)}$

$=\sqrt{40^2\pi^2+25^2}$

$=\sqrt{1.600\left(10\right)+625}$ (masukkan asumsi awal $\pi^2=10$)

$=\sqrt{16.000+625}$

$=\sqrt{16.625}$ m/s

Maka besarnya resultan kecepatan perahu adalah $\sqrt{16.625}$ m/s.

Diketahui:

Persamaan simpangan $x=0,1\sin\theta$

Kecepatan maksimum $v_{\text{maks}}$ = 2,5 m/s

Massa bandul $m$ = 0,2 kg

SImpangan $y$ = 8 cm = 0,08 m

Ditanya:

Kecepatan $v=$?

Jawab:

Persamaan kecepatan pada gerak harmonis sederhana pada merupakan turunan pertama dari persamaan simpangan gerak terhadap waktu. Secara matematis persamaan kecepatannya adalah sebagai berikut.

$v=A\omega\cos\theta$

Dengan $A$ adalah amplitudo atau simpangan terjauh, $\omega$ adalah kecepatan sudut atau frekuensi sudut, $t$ adalah waktu, dan $\theta$ adalah sudut fase dimana $\theta=\omega t+\theta_0$.

Untuk menentukan besar kecepatan bandul pada simpangan tertentu, mula-mula hitung besar kecepatan sudutnya terlebih dahulu melalui persamaan kecepatan maksimumnya. Ketika suatu benda yang bergerak harmonik berada pada titik setimbangnya, kecepatan benda tersebut akan bernilai maksimum, dimana secara matermatis persamaannya adalah sebagai berikut.

$v_{\text{maks}}=A\omega$

Sehingga,

$\omega=\frac{v_{\text{maks}}}{A}$

$\omega=\frac{\left(2,5\right)}{\left(0,1\right)}$

$\omega=25$ rad/s

Berdasarkan persamaan simpangan, yaitu:

$x=0,1\sin\theta$

Dapat dilihat bahwa amplitudo gerak harmonik bandul adalah $A=0,1$ m. Ketika $y=0,08$ m, nilai sudut yang terbentuk adalah sebagai berikut.

$y=0,1\sin\theta$

$0,08=0,1\sin\theta$

$\sin\theta=\frac{\left(0,08\right)}{\left(0,1\right)}$

$\sin\theta=0,8$

$\sin\theta=\frac{8}{10}$

Mengikuti prinsip phytagoras pada sudut siku-siku sebagai berikut:

maka diperoleh bahwa $\cos\theta=\frac{6}{10}\ \ \rightarrow\ \ \cos\theta=0,6$.

Sehingga, kecepatan bandul ketika di $x=0,08$ m adalah sebagai berikut.

$v=A\omega\cos\theta$

$v=\left(0,1\right)\left(25\right)\left(0,6\right)$

$v=\left(2,5\right)\left(0,6\right)$

$v=1,5$ m/s

Jadi, kecepatan bandul ketika berada pada simpangan 8 cm dari titik setimbangnya adalah 1,5 m/s.

Diketahui:

Massa beban $m$ = 250 gram = 0,25 kg

Panjang tali $L=L$

Frekuensi sudut $\omega$ = 3 rad/s

Energi potensial maksimum $EP=18\times10^{-4}$ J

Simpangan terjauh/ Amplitudo $A$ = 10 cm = 0,1 m

Ditanya:

Gaya pemulih $F=$?

Dijawab:

Menentukan nilai $\sin\theta$

Pada gerak harmonik sederhana, ketika bandul atau pegas berada pada simpangan terjauhnya energi potensialnya bernilai maksimum sedangkan energi kinetiknya minimum. Energi potensial dari sistem yang mengalami gerak harmonik sederhana dirumuskan dengan persamaan berikut.

$EP=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2\theta$

Dengan $\omega$ adalah frekuensi sudut atau kecepatan sudut dari gerak harmonis sederhana bandul/pegas dan $A$ adalah amplitudo (simpangan terjauh bandul/pegas), dan $\theta$ adalah sudut fase yang besarnya sama dengan $\theta=\omega t+\theta_0$.

Maka, pada kasus ini nilai $\sin\theta$ dapat diperoleh sebagai berikut.

$EP=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2\theta$

$\sin^2\theta=\frac{2EP}{m\omega^2A^2}$

$\sin^2\theta=\frac{2\left(18\times10^{-4}\right)}{\left(0,25\right)\left(3\right)^2\left(0,1\right)^2}$

$\sin^2\theta=\frac{2\left(0,0018\right)}{\left(0,25\right)\left(9\right)\left(0,01\right)}$

$\sin^2\theta=\frac{0,0036}{0,0225}$

$\sin^2\theta=0,16$

$\sin\theta=\sqrt{0,16}$

$\sin\theta=0,4$

Menentukan gaya pemulih

Gaya pemulih (restoring force) merupakan gaya yang dibutuhkan pada sistem yang mengalami gerak harmonik untuk kembali ke titik keseimbangannya. Pada ayunan sederhana atau bandul, gaya pemulih bisa didapatkan melalui persamaan berikut.

$F=-mg\sin\theta$ 

Dimana $$$mg$ merupakan berat beban (massa beban dikalikan percepatan gravitasi), $\theta$ besarnya sudut simpangan awal. Karena $\sin\theta=\frac{y}{L}$, maka diperoleh persamaan berikut.

$F=-mg\ \frac{y}{L}$

Dengan $y$ adalah besar simpangan, dan $L$ adalah panjang tali ayunan.

Tanda negatif menunjukkan bahwa arah gaya pemulih selalu berlawanan arah dengan arah simpangan.

Sehingga pada kasus ini besarnya gaya pemulih bandul tersebut dari simpangan terjauh ke titik setimbangnya adalah:

$F=-mg\sin\theta$

$F=-\left(0,25\right)\left(10\right)\left(0,4\right)$

$F=-\left(2,5\right)\left(0,4\right)$

$F=-1$ N

Tanda negatif menunjukkan bahwa arah gaya pemulih selalu berlawanan arah dengan arah simpangan.

Jadi, besar gaya pemulih bandul tersebut dari simpangan terjauhnya ke titik setimbangnya adalah 1 N.