Gaya gravitasi, percepatan gravitasi, kecepatan sudut dan kecepatan tangensial adalah besaran-besaran yang terpengaruh oleh jarak objek ke planet. Ketika berpindah ke orbit yang jari-jarinya lebih kecil, maka gaya gravitasi, percepatan gravitasi, kecepatan sudut dan kecepatan tangensial akan semakin besar. Sedangkan sudut tempuh akan selalu sama yaitu 360^o meskipun radius planet berubah-ubah.

Perhatikan persamaan berikut.

$v^2=\frac{GM}{R}$

Kecepatan satelit dalam mengelilingi planet tidak bergantung terhadap massa satelit, melainkan bergantung terhadap massa planetnya.

Jadi, jawaban yang tepat adalah bahwa kecepatan satelit A dan B adalah sama.

Diketahui:

Jarak awal satelit $R_1=R$

Jarak akhir satelit $R_2=2R$

Percepatan gravitasi awal $g_1=g$

Percepatan gravitasi akhir $g_2=\frac{3}{4}g$

Kecepatan awal $v_1=v$

Ditanya:

Kecepatan satelit yang baru $v_2=?$

Jawaban:

Satelit dapat mengorbit planet karena terdapat gaya sentripetal yang dipengaruhi oleh gaya gravitasi.

$F_{\text{sp}}=\frac{mv^2}{r}$

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$

$v^2=\frac{GM}{r}$

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

Percepatan gravitasi di tempat-tempat yang dekat dengan permukaan planet dapat dinyatakan dengan:

$g=\frac{GM}{r^2}$ $\longrightarrow$ $GM=gr^2$

Jika disubstitusikan ke dalam $v$, persamaannya menjadi:

$v=\sqrt{\frac{gr^2}{r}}=\sqrt{gr}$

Sehingga, kecepatan satelit yang baru dapat ditemukan menggunakan persamaan berikut.

$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{g_1R_1}{g_2R_2}}=\sqrt{\frac{g_1R_1}{\frac{3}{4}g_1\left(2R_1\right)}}=\sqrt{\frac{1}{\frac{3}{2}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$

$v_2=\sqrt{\frac{3}{2}}v_1=\sqrt{\frac{3}{2}}v$

Jadi, kecepatan satelit yang baru adalah $\sqrt{\frac{3}{2}}v$.

Diketahui:

Periode planet X $T_x=64T_y$

Periode planet Y $T_y$

Ditanya:

Rasio jarak planet X dan planet Y dari matahari $r_x:r_y=?$

Jawaban:

Untuk menentukan jarak planet B ke Matahari, dapat berpacu pada hukum ketiga Kepler yang menyatakan bahwa perbandingan kuadrat periode terhadap pangkat tiga dari setengah panjang sumbu elips adalah sama untuk semua planet. Sehingga, persamaannya menjadi:

$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2=\left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$

Untuk menentukan rasio jarak tiap planet dari matahari, maka digunakan persamaan Kepler.

$\left(\frac{T_x}{T_y}\right)^2=\left(\frac{r_x}{r_y}\right)^3$

$\left(\frac{64T_y}{T_y}\right)^2=\left(\frac{r_x}{r_y}\right)^3$

$\left(64\right)^2=\left(\frac{r_x}{r_y}\right)^3$

$\left(\frac{r_x}{r_y}\right)^3=4.096$

$\frac{r_x}{r_y}=\frac{16}{1}$

Jadi rasio jarak planet X dan planet Y dari matahari adalah 16 : 1.

Diketahui:

Kecepatan satelit mengelilingi planet v

Massa planet pertama M

Massa planet kedua 4M

Ketinggian satelit 2R

Ditanya:

Kecepatan satelit saat mengelilingi planet yang kedua $v_2=?$

Jawaban:

Satelit dapat mengorbit planet karena terdapat gaya sentripetal yang dipengaruhi oleh gaya gravitasi.

$F_{\text{sp}}=\frac{mv^2}{r}$

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$

$v^2=\frac{GM}{r}$

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

Sehingga, kecepatan satelit dalam mengelilingi planet yang kedua dapat ditentukan menggunakan persamaan berikut ini

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{\sqrt{\frac{GM_1}{r_1}}}{\sqrt{\frac{GM_2}{r_2}}}=\sqrt{\frac{M_1}{M_2}}=\sqrt{\frac{M}{4M}}=\frac{1}{2}$

$v_2=2v_1=2v$

Jadi, kecepatan satelit dalam mengelilingi planet kedua adalah 2v.

Diketahui:

Perbandingan periode planet A dan B T_{A :} T_B = 1 : 3

Jarak planet A ke Matahari $R_{\text{A}}=$ $2\times10^8\text{ km}$

Ditanya:

Jarak planet B ke Matahari $R_{\text{B}}=?$

Jawaban:

Untuk menentukan jarak planet B ke Matahari, dapat berpacu pada hukum ketiga Kepler yang menyatakan bahwa perbandingan kuadrat periode terhadap pangkat tiga dari setengah panjang sumbu elips adalah sama untuk semua planet. Sehingga, persamaannya menjadi:

$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2=\left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$

$\left(\frac{1}{3}\right)^2=\left(\frac{2\times10^8}{R_B}\right)^3=\frac{8\times10^{24}}{R_B^3}$

$\frac{1}{9}=\frac{8\times10^{24}}{R_B^3}$

$R_B^3=72\times10^{24}$

$R_B=4,2\times10^8\text{ km}$

Jadi, jarak planet B ke Matahari adalah $4,2\times10^8\text{ km}$.

Diketahui:

Jarak awal satelit $R_1=R$

Jarak akhir satelit $R_2=2R$

Percepatan gravitasi awal $g_1=g$

Percepatan gravitasi akhir $g_2=\frac{3}{4}g$

Kecepatan awal $v_1=v$

Energi kinetik awal $K_1=K$

Ditanya:

Energi kinetik satelit yang baru $K_2=?$

Jawaban:

Energi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh benda yang bergerak. Oleh karena itu, energi kinetik memerlukan besar kecepatan.

Satelit dapat mengorbit planet karena terdapat gaya sentripetal yang dipengaruhi oleh gaya gravitasi.

$F_{\text{sp}}=\frac{mv^2}{r}$

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$

$v^2=\frac{GM}{r}$

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

Percepatan gravitasi di tempat-tempat yang dekat dengan permukaan planet dapat dinyatakan dengan:

$g=\frac{GM}{r^2}$ $\longrightarrow$ $GM=gr^2$

Jika disubstitusikan ke dalam $v$, persamaannya menjadi:

$v=\sqrt{\frac{gr^2}{r}}=\sqrt{gr}$

Sehingga, kecepatan satelit yang baru dapat ditemukan menggunakan persamaan berikut.

$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{g_1R_1}{g_2R_2}}=\sqrt{\frac{g_1R_1}{\frac{3}{4}g_1\left(2R_1\right)}}=\sqrt{\frac{1}{\frac{3}{2}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$

$v_2=\sqrt{\frac{3}{2}}v_1=\sqrt{\frac{3}{2}}v$

Energi kinetik satelit yang baru adalah

$\frac{K_1}{K_2}=\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2}=\frac{v_1^2}{v_2^2}=\frac{v_1^2}{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}v_1\right)^2}=\frac{2}{3}$

$K_2=\frac{3}{2}K_1$

Jadi, energi kinetik yang baru adalah $\frac{3}{2}K_{ }$.

Diketahui:

Ketinggian satelit A $r_{\text{A}}=$ 4.000 km $=4\times10^6\ \text{m}$

Ketinggian satelit B $r_{\text{B}}=$ 4.200 km $=4,2\times10^6\ \text{m}$

Radius Bumi $R=$ 6.000 km $=6\times10^6\ \text{m}$

Ditanya:

Perbandingan kecepatan sudut masing-masing satelit $\omega_{\text{A}}:\ \omega_{\text{B}}=?$

Jawaban:

Kecepatan sudut $\omega$ adalah besar sudut pusat yang ditempuh oleh partikel dalam waktu tertentu. Hubungannya dengan kecepatan linear adalah bahwa untuk kecepatan sudut tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak dari pusat lingkarannya $r$. Kecepatan sudut satelit dalam mengelilingi planet yang kedua dapat ditentukan menggunakkan persamaan berikut ini

$\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{\frac{v_1}{r_1}}{\frac{v_2}{r_2}}$

Satelit dapat mengorbit planet karena terdapat gaya sentripetal yang dipengaruhi oleh gaya gravitasi.

$F_{\text{sp}}=\frac{mv^2}{r}$

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$

$v^2=\frac{GM}{r}$

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

Percepatan gravitasi di tempat-tempat yang dekat dengan permukaan planet dapat dinyatakan dengan:

$g=\frac{GM}{r^2}$ $\longrightarrow$ $GM=gr^2$

Jika disubstitusikan ke dalam $v$, persamaannya menjadi:

$v=\sqrt{\frac{gr^2}{r}}=\sqrt{gr}$

Diperoleh bahwa

$\frac{\omega_{\text{A}}}{\omega_{\text{B}}}=\frac{\frac{\sqrt{gr_{\text{A}}}}{r_{\text{A}}}}{\frac{\sqrt{gr_{\text{B}}}}{r_{\text{B}}}}=\frac{\sqrt{\frac{gr_{\text{A}}}{r_{\text{A}}^2}}}{\sqrt{\frac{gr_{\text{B}}}{r_{\text{B}}^2}}}$

$\frac{\omega_A}{\omega_B}=\sqrt{\frac{\frac{g}{r_{\text{A}}}}{\frac{g}{r_{\text{B}}}}}=\sqrt{\frac{r_{\text{B}}}{r_{\text{A}}}}=\sqrt{\frac{R+4,2\times10^6}{R+4\times10^6}}=\sqrt{\frac{6\times10^6+4,2\times10^6}{6\times10^6+4\times10^6}}=\sqrt{\frac{10,2\times10^6}{10\times10^6}}=\sqrt{\frac{51}{50}}$

Jadi, perbandingan kecepatan sudut masing-masing satelit adalah $\sqrt{\frac{51}{50}}$

Diketahui:

Massa satelit $m=1\times10^{10}\ \text{kg}$

Ketinggian satelit $r_{\text{s}}=$ 4.000 km $=4\times10^6$ m

Jari-jari bumi $r_{\text{B}}=$ 6.000 km $=6\times10^6$ m

Percepatan gravitasi $g=8\ \text{m/s}^2$

Ditanya:

Besar momentum satelit $p=?$

Jawaban:

Momentum adalah ukuran kesukaran untuk memberhentikan benda bermassa $m$ yang bergerak dengan kecepatan $v$. Satelit dapat mengorbit planet karena terdapat gaya sentripetal yang dipengaruhi oleh gaya gravitasi.

$F_{\text{sp}}=\frac{mv^2}{r}$

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$

$v^2=\frac{GM}{r}$

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

Percepatan gravitasi di tempat-tempat yang dekat dengan permukaan planet dapat dinyatakan dengan:

$g=\frac{GM}{r^2}$ $\longrightarrow$ $GM=gr^2$

Jika disubstitusikan ke dalam $v$, persamaannya menjadi:

$v=\sqrt{\frac{gr^2}{r}}=\sqrt{gr}$

Sehingga, untuk menentukan kecepatan satelit, dapat digunakan persamaan berikut.

$v=\sqrt{gR}$ , dengan $R=r_{\text{B}}+r_{\text{s}}$

$p=mv=m\left(\sqrt{gR}\right)=1\times10^{10}\left(\sqrt{\left(8\right)\left(6\times10^6+4\times10^6\right)}\right)$

$=1\times10^{10}\left(\sqrt{80\times10^6}\right)=8,9\times10^{13}\text{ kg}\ \text{m/s}$

Jadi, momentum satelit pada posisi ini adalah $8,9\times10^{13}\text{}\text{ kg}\ \text{m/s}$ .

Diketahui:

Massa planet $M_{\text{p}}=$ $4\times10^{30}\ \text{kg}$

Massa satelit $m_{\text{s}}=$ $1\times10^{20}\ \text{kg}$

Jarak $r=$ $1\times10^7\ \text{m}$

Konstanta gravitasi $G=7\times10^{-11}\ \text{N}\text{ m}^2\text{/kg}^2$

Ditanya:

Energi kinetik satelit $EK=?$

Jawaban:

Energi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh benda yang bergerak. Oleh karena itu, energi kinetik memerlukan besar kecepatan. Satelit dapat mengorbit planet karena terdapat gaya sentripetal yang dipengaruhi oleh gaya gravitasi.

$F_{\text{sp}}=\frac{mv^2}{r}$

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$

$v^2=\frac{GM}{r}$

Sehingga, energi kinetik satelit dalam mengelilingi planet dapat ditentukan menggunakan persamaan berikut ini

$EK=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m_s\left(\frac{GM_p}{r}\right)=\frac{1}{2}\left(1\times10^{20}\right)\left(\frac{\left(7\times10^{-11}\right)\left(4\times10^{30}\right)}{\left(1\times10^7\right)}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(1\times10^{20}\right)\left(28\times10^{12}\right)=14\times10^{32}\text{ J}$

Jadi, energi kinetik satelit A dalam mengelilingi planet X adalah $14\times10^{32}\text{ J}$.