kejarcita | Pendidikan Bermutu untuk Semua

# 5

Pilgan

Diketahui $S\left(n\right)$ adalah rumus dari

$2+8+32+\dots+\frac{4^n}{2}=\frac{2}{3}(4^n-1)$

Jika diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=9$ , maka akan dibuktikan benar bahwa ....

A

$2+8+32+\dots+\frac{4^9}{2}=\frac{2}{3}(4^9-1)$

B

$2+8+32+\dots+\frac{4^{11}}{2}=\frac{2}{3}(4^{11}-1)$

C

$2+8+32+\dots+\frac{4^{10}}{2}=\frac{2}{3}(4^{10}-1)$

D

$\frac{4^{9}}{2}=\frac{2}{3}(4^9-1)$

E

$\frac{4^{10}}{2}=\frac{2}{3}(4^{10}-1)$

Pembahasan:

Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=a$ , dengan $a$ bilangan asli terkecil yang memenuhi $S\left(n\right)$ .
Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ , kemudian akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$ .

Pernyataan $S\left(n\right)$ dikatakan benar untuk $n=p$ ( $p$ dapat berupa bilangan maupun variabel) jika dengan mensubstitusikan $n=p$ pada $S\left(n\right)$ , maka pernyataan $S\left(n\right)$ benar / berlaku.

Pada soal diketahui bahwa diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=9$ . Berdasarkan langkah induksi, maka akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=9+1=10$ , yaitu dengan mensubstitusikan $n=10$ pada $S\left(n\right)$ diperoleh

$2+8+32+\dots+\frac{4^{10}}{2}=\frac{2}{3}(4^{10}-1)$