Diketahui:

Gaya $F$ dan luas permukaan $A$

Ditanyakan:

Dimensi tekanan $P$ ?

Jawab:

Tekanan $P=\frac{F}{A}$, dengan gaya $F=ma$, percepatan $a=\frac{v}{t}$, kecepatan $v=\frac{s}{t}$, dan luas permukaan $A=s^2$. Masing-masing besaran memiliki dimensi sebagai berikut.

$\left[A\right]=\left[s\right]^2$ $\Leftrightarrow\text{([L])}^2=\text{[L]}^2$

$\left[v\right]=\frac{\left[s\right]}{\left[t\right]}$ $\Leftrightarrow\frac{\text{[L]}}{\text{[T]}}=\text{[L][T]}^{-1}$

$\left[a\right]=\frac{\left[v\right]}{\left[t\right]}$ $\Leftrightarrow\frac{\text{[L][T]}^{-1}}{\text{[T]}}=\text{[L][T]}^{-2}$

$\left[F\right]=\left[m\right]\left[a\right]$ $\Leftrightarrow\text{[M]}\left(\text{[L][T]}^{-2}\right)=\text{[M]}\text{[L][T]}^{-2}$

maka, dimensi tekanan menjadi:

$\left[P\right]=\frac{\left[F\right]}{\left[A\right]}$ $\Leftrightarrow\frac{\text{[M][L][T]}^{-2}}{\text{[L]}^2}=\text{[M][L]}^{-1}\text{[T]}^{-2}$

Jadi, dimensi tekanan adalah $\text{[M][L]}^{-1}\text{[T]}^{-2}$

Diketahui:

Daya $P=900\ \text{watt}$

Waktu $t=28.800\ \text{s}$

Ditanyakan:

Energi listrik dalam satuan $\text{kWh}$?

Jawab:

Untuk mengubah satuan energi listrik ke dalam $\text{kWh}$, satuan masing-masing besaran harus dikonversikan terlebih dahulu.

$1\ \text{kW}=1.000\ \text{watt}$, sehingga $900\ \text{watt}=\frac{900}{1000}\ \text{kW}=0,9\ \text{kW}$

$1\ \text{jam}=3.600\ \text{s}$, sehingga $28.800\ \text{s}=\frac{28.800}{3.600}\text{jam}\ =8\ \text{jam}$

$\text{energi listrik}=\text{daya}\ \times\text{waktu}$

$=0,9\ \text{kW}\ \times8\ \text{jam}$

$=7,2\ \text{kWh}$

Jadi, energi listrik tersebut adalah $7,2\ \text{kWh}$

Diketahui:

Satuan sebuah besaran $\text{kgm}^2\text{/s}^2$

Ditanyakan:

Satuan yang setara dengan $\text{kgm}^2\text{/s}^2$

Jawab:

Tinjau masing-masing opsi jawaban dengan menguraikan satuan penyusunnya.

*$\text{Nm}=\text{kg}\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\text{m}$ $\Leftrightarrow\text{kgm}^2\text{/s}^2$

*$\text{N/m}^2=\frac{\text{kg}\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{\text{m}^2}$

$=\frac{\text{kgm}}{\text{m}^2\ \text{s}^2}$

$=\frac{\text{kg}}{\text{m}\ \text{s}^2}$ $\Leftrightarrow\text{kg/ms}^2$

*$\text{Pa}=\text{N/m}^2$ $\Leftrightarrow\text{kg/ms}^2$

*$\text{J/s}=\frac{\text{kg}\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{\text{s}}$

$=\frac{\text{kg}\text{m}^2}{\text{s}^3}$ $\Leftrightarrow\text{kgm}^2\text{/s}^3$

*$\text{Watt}=\text{J/s}$ $\Leftrightarrow\text{kgm}^2\text{/s}^3$

Jadi, satuan yang setara adalah $\text{Nm}$

Diketahui:

Massa jenis $=1,5\times10^{-3}\ \text{g/cm}^3$

Kelajuan $=144\ \text{km/jam}$

Ditanyakan:

Nilai massa jenis dan kelajuan dalam satuan SI?

Jawab:

1) Massa jenis

$1,5\times10^{-3}\ \text{g/cm}^3=\frac{1,5\times10^{-3}\ \text{g}}{1\ \text{cm}^3}$

satuan gram diubah ke dalam kilogram berarti dikali dengan $10^{-3}$ dan satuan

$\text{cm}^3$ diubah ke dalam $\text{m}^3$ berarti dikali dengan $10^{-6}$, menjadi:

$\frac{1,5\times10^{-3}\times10^{-3}\ \text{kg}}{1\times10^{-6}\ \text{m}^3}=\frac{1,5\times10^{-6}\ \text{kg}}{10^{-6}\ \text{m}^3}$

$=\frac{1,5\ \text{kg}}{\text{m}^3}$ $\Leftrightarrow1,5\ \text{kg/}\text{m}^3$

2) Kelajuan

$144\ \text{km/jam}=\frac{144\ \text{km}}{1\ \text{jam}}$

satuan kilometer diubah ke dalam meter berarti dikali dengan 1.000, dan satuan jam diubah ke dalam sekon berarti dikali dengan 3.600, menjadi:

$\frac{144\times1.000\ \text{m}}{1\times3.600\ \text{s}}=\frac{144.000\ \text{m}}{3.600\ \text{s}}$

$=\frac{40\ \text{m}}{1\ \text{s}}$ $\Leftrightarrow40\ \text{m/}\text{s}$

Jadi, masing-masing nilainya menjadi $1,5\ \text{kg/m}^3$ dan $40\ \text{m/}\text{s}$

Diketahui:

Satuan $m=\text{kg}$

Satuan $t=\text{s}$

Satuan $v=\text{m/s}$

Satuan $x=\text{m}$

Ditanyakan:

Satuan $\left(\frac{m}{x^3}\right)\frac{v}{t}\ x$ $\ =...$

Jawab:

$\left(\frac{m}{x^3}\right)\frac{v}{t}\ x=\left(\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\right)\frac{\text{m/s}}{\text{s}}\text{m}$

$=\left(\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\right)\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

$=\frac{\text{kg}}{\text{ms}^2}$

Jadi, satuan $\left(\frac{m}{x^3}\right)\frac{v}{t}\ x$ adalah $\text{kg/ms}^2$

Dimensi suatu besaran adalah ekspresi huruf dari kuantitas yang diturunkan dari besaran pokok, tanpa mempertimbangkan nilai numerik.

Untuk mengetahui dimensi dari beberapa besaran sama atau tidak dapat diketahui dari satuan besaran tersebut. Jika satuannya sama, maka dimensinya juga sama. Kita tinjau masing-masing pilihan jawaban sebagai berikut.

*energi dan usaha. Kedua besaran memiliki satuan yang sama, yaitu joule. Oleh karena itu, dimensi energi sama dengan dimensi usaha.

*kecepatan dan percepatan. Satuan kecepatan adalah $\text{m/s}$, sedangkan percepatan memiliki satuan $\text{m/s}^2$. Oleh karena itu, dimensi keduanya berbeda.

*tekanan dan gaya. Tekanan adalah gaya yang bekerja per satuan luas, sehingga satuannya $\text{N/m}^2$. Satuan ini jelas berbeda dengan gaya yaitu $\text{N}$. Oleh karena itu, dimensi keduanya berbeda.

*massa jenis dan energi. Massa jenis merupakan besar massa per satuan volume, sehingga satuannya $\text{kg/m}^3$, sedangkan energi memiliki satuan joule. Oleh karena itu, dimensi keduanya berbeda.

*daya dan gaya. Daya merupakan besarnya energi yang digunakan tiap satuan waktu, sehingga satuannya $\text{J/s}$, sedangkan gaya memiliki satuan $\text{N}$. Oleh karena itu, dimensi keduanya berbeda.

Jadi, besaran yang memiliki dimensi sama adalah energi dan usaha.

Diketahui:

Dimensi usaha $\text{[M]}^x\text{[L]}^y\text{[T]}^z$

Ditanyakan:

$x+3y-\frac{6}{z}=$ ?

Jawab:

Usaha $W=Fs$, dengan gaya $F=ma$, percepatan $a=\frac{v}{t}$, dan kecepatan $v=\frac{s}{t}$, yang masing masing memiliki dimensi sebagai berikut.

$\left[s\right]=\text{[L]}$

$\left[v\right]=\frac{\left[s\right]}{\left[t\right]}$ $\Leftrightarrow\frac{\text{[L]}}{\text{[T]}}=\text{[L][T]}^{-1}$

$\left[a\right]=\frac{\left[v\right]}{\left[t\right]}$ $\Leftrightarrow\frac{\text{[L][T]}^{-1}}{\text{[T]}}=\text{[L][T]}^{-2}$

$\left[F\right]=\left[m\right]\left[a\right]$ $\Leftrightarrow\text{[M]}\left(\text{[L][T]}^{-2}\right)=\text{[M][L][T]}^{-2}$

maka, dimensi usaha menjadi:

$\left[W\right]=\left[F\right]\left[s\right]$ $\Leftrightarrow\left(\text{[M][L][T]}^{-2}\right)\text{[L]}=\text{[M][L]}^2\text{[T]}^{-2}$

Nilai $x$, $y$, dan $z$, adalah:

$\text{[M][L]}^2\text{[T]}^{-2}=\text{[M]}^x\text{[L]}^y\text{[T]}^z$

$x=1$, $y=2$, dan $z=-2$

sehingga, $x+3y-\frac{6}{z}=1+3\left(2\right)-\left(\frac{6}{-2}\right)$

$=1+6-\left(-3\right)$

$=7+3$

$=10$

Jadi, hasilnya adalah 10

Beberapa hal tentang dimensi diuraikan sebagai berikut.

• Dimensi digunakan untuk membuktikan dua besaran fisika setara atau tidak.
• Dua besaran atau lebih hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika besaran-besaran tersebut memiliki dimensi yang sama.
• Dimensi digunakan untuk menentukan persamaan yang pasti salah atau mungkin benar.
• Dimensi digunakan untuk menurunkan persamaan suatu besaran fisika jika kesebandingan besaran fisika tersebut terhadap besaran-besaran fisika lainnya diketahui.
• Jika kedua ruas memiliki dimensi yang sama, itu tidak berarti rumus tersebut benar. Hal ini dikarenakan mungkin terdapat suatu angka atau konstanta pada rumus yang tidak memiliki dimensi, misalnya $EK=\frac{1}{2}mv^2$, dengan nilai $\frac{1}{2}$ tidak dapat diperoleh dari analisis dimensi.

Kita tinjau masing-masing pernyataan

1. Dimensi digunakan untuk membuktikan dua besaran fisika setara atau tidak $\longrightarrow$ pernyataan benar
2. Dua besaran atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika besaran-besaran tersebut memiliki dimensi yang berbeda $\longrightarrow$ pernyataan salah
3. Dimensi digunakan untuk menentukan persamaan yang pasti salah atau mungkin benar $\longrightarrow$ pernyataan benar
4. Dimensi digunakan untuk menurunkan persamaan suatu besaran fisika jika kesebandingan besaran fisika tersebut terhadap besaran-besaran fisika lainnya diketahui $\longrightarrow$ pernyataan benar
5. Dalam menganalisis dimensi, jika kedua ruas memiliki dimensi yang sama, maka sudah pasti rumus tersebut benar $\longrightarrow$ pernyataan salah

Jadi, pernyataan yang salah adalah 2 dan 5

Diketahui:

$\frac{A}{B}=C^2$

Satuan $A:\ \text{joule}$s

Satuan $B:\ \text{kilogram}$

Ditanyakan:

$C$ adalah besaran ?

Jawab:

$\frac{A}{B}=C^2$

$\frac{\text{joule}}{\text{kilogram}}=C^2$

satuan joule merupakan satuan energi yang diperoleh dari perkalian massa dengan jarak pangkat dua per satuan waktu pangkat dua

$\frac{\text{kgm}^2}{\text{kg s}^2}=C^2$

$\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}=C^2$

$\sqrt{\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}=C$

$\frac{\text{m}}{\text{s}}=C$

Besaran yang memiliki satuan m/s adalah besaran kecepatan.

Jadi, $\text{}C$ adalah besaran kecepatan.

Diketahui:

Luas penampang $A$

Panjang $l$

Beda kalor $\Delta T$

Laju perpindahan kalor $\frac{Q}{t}=\frac{kA\Delta T}{l}$

Ditanyakan:

Dimensi konduktivitas kalor?

Jawab:

Persamaan yang diketahui di soal adalah $\frac{Q}{t}=\frac{kA\Delta T}{l}$, sementara yang akan dicari adalah dimensi $k$, sehingga persamaannya menjadi $\frac{Ql}{tA\Delta T}=k$.

Laju perpindahan kalor $\frac{Q}{t}=\frac{kA\Delta T}{l}$, dengan $Q$ adalah energi kalor yang memiliki satuan joule, sama dengan satuan besaran energi yang lain, sehingga kita dapat menggunakan $Q=EK=\frac{1}{2}mv^2$, di mana $v=\frac{s}{t}$. Kemudian luas penampang $A=s^2$, dengan dimensi masing-masing besaran diuraikan sebagai berikut.

panjang $l$ memiliki satuan sama dengan jarak $s$, sehingga $\left[l\right]=\left[s\right]=\text{[L]}$

$\left[t\right]=\text{[T]}$

$\left[v\right]=\frac{\left[s\right]}{\left[t\right]}$ $\Leftrightarrow\frac{\text{[L]}}{\text{[T]}}=\text{[L][T]}^{-1}$

$\left[EK\right]=\frac{1}{2}\left[m\right]\left[v\right]^2$ $\Leftrightarrow\text{[M]}\left(\text{[L][T]}^{-1}\right)^2=\text{[M][L]}^2\text{[T]}^{-2}$

$\left[A\right]=\left[s\right]^2$ $\Leftrightarrow\left(\text{[L]}\right)^2=\text{[L]}^2$

$\left[\Delta T\right]=\left[T\right]=\ \text{[}\theta\text{]}$

maka, dimensi konduktivitas kalor menjadi:

$\left[k\right]=\frac{\left[Q\right]\left[l\right]}{\left[t\right]\left[A\right]\left[\Delta T\right]}$

$\frac{\left(\text{[M][L]}^2\text{[T]}^{-2}\right)\text{[L]}}{\text{[T]}\left(\text{[L]}^2\right)\text{[}\theta\text{]}}=\frac{\text{[M][L]}^3\text{[T]}^{-2}}{\text{[L]}^2\text{[T]}\text{[}\theta\text{]}}$

$=\frac{\text{[M][L]}^3\ \text{[L]}^{-2}\text{[T]}^{-2}\text{[T]}^{-1}}{\text{[}\theta\text{]}}$

$=\text{[M][L]}\text{[T]}^{-3}\text{[}\theta\text{]}^{-1}$

Jadi, dimensi konduktivitas kalor $k$ adalah $\text{[M][L]}\text{[T]}^{-3}\text{[}\theta\text{]}^{-1}$