Limit di atas memiliki bentuk $\ \frac{0}{0}$ maka bentuk pecahan perlu diubah terlebih dahulu

$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x\cos4x-\tan3x}{12x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x\left(\cos4x-1\right)}{12x^3}$

Karena $\cos ax=1-2\sin^2\frac{a}{2}x$ maka

$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x\left(1-2\sin^22x-1\right)}{12x^3}$

$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x\left(-2\sin^22x\right)}{12x^3}$

$=\lim\limits_{x\to0}\frac{-2\tan3x\sin^22x}{12x^3}$

$=-\frac{2}{12}\ .\ \lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x}{x}\ .\ \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin^22x}{x^2}$

$=-\frac{1}{6}\ .\ \lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x}{x}\ .\ \lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\sin2x}{x}\right)^2$

Karena berdasarkan rumus limit fungsi trigonometri, $\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan mx}{nx}=\frac{m}{n}$ dan $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin mx}{nx}=\frac{m}{n}$ maka

$=-\frac{1}{6}\ .\ 3\ .\ \left(2\right)^2$

$=-\frac{1}{6}\ .\ 3\ .\ 4$

$=-2$