Diketahui:

Lingkaran $L$ berpusat di titik $\left(-4,1\right)$ dan melalui titik $\left(1,2\right)$

Lingkaran $L$ diputar terhadap titik $\left(-1,-2\right)$ searah jarum jam sejauh $90\degree$

Ditanya:

Lingkaran $L'$ yang dihasilkan $=?$

Jawab:

Mencari persamaan lingkaran terlebih dahulu

Untuk membentuk persamaan lingkaran perlu diketahui titik pusat dan jari-jarinya. Pada persoalan di atas, perlu dicari jari-jari lingkaran terlebih dahulu.

Rumus jari-jari lingkaran jika diketahui titik pusat $\left(a,b\right)$ dan salah satu titik $\left(x,y\right)$ yang dilalui lingkaran sama dengan mencari jarak dari titik pusat ke titik tersebut.

$d=\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}$

Diketahui lingkaran $L$ berpusat di titik $\left(-4,1\right)$ dan melalui titik $\left(1,2\right)$ maka

$d=\sqrt{\left(1-\left(-4\right)\right)^2+\left(2-1\right)^2}$

$=\sqrt{\left(1+4\right)^2+\left(2-1\right)^2}$

$=\sqrt{5^2+1^2}$

$=\sqrt{25+1}$

$=\sqrt{26}$

Persamaan umum lingkaran dengan titik pusat $\left(a,b\right)$ dan jari-jari $r$ adalah

$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$

$\left(x-\left(-4\right)\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(\sqrt{26}\right)^2$

$\left(x+4\right)^2+\left(y-1\right)^2=26$

$x^2+8x+16+y^2-2y+1=26$

$x^2+y^2+8x-2y=9$

Mencari bayangan hasil rotasi

Secara umum bayangan titik $\left(x,y\right)$ yang dirotasikan pada pusat rotasi $\left(a, b\right)$ dengan sudut rotasi $\theta$ adalah $\left(x',y'\right)$ dengan

Diketahui lingkaran diputar terhadap titik $\left(-1,-2\right)$ searah jarum jam sejauh $90\degree$dengan $a=-1,b=-2,\ \theta=-90\degree$

Artinya

$x'=y+1$ maka $y=x'-1$

$y'=-x-3$ maka $x=-y'-3$

Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke persamaan $x^2+y^2+8x-2y=9$

$x^2+y^2+8x-2y=9$

$\left(-y'-3\right)^2+\left(x'-1\right)^2+8\left(-y'-3\right)-2\left(x'-1\right)=9$

$\left(y'\right)^2+6y'+9+\left(x'\right)^2-2x'+1-8y'-24-2x'+2=9$

$\left(x'\right)^2+\left(y'\right)^2-4x'-2y'=21$

Jadi, persamaan lingkaran $L'$ adalah $x^2+y^2-4x-2y=21$.