Diketahui:

Persamaan posisi $r\left(t\right)=\left(\left(2t^2+4t^5\right)i+\left(5t-3\right)j\right)$ m

Waktu awal $t_1=2$ s

Waktu akhir $t_2=5$ s

Ditanya:

Persamaan percepatan rata-rata yang dialami meteor pada waktu 2 detik hingga 5 detik $\overline{a}$ = ?

Jawab:

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel dalam selang waktu tertentu

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil maka posisi diturunkan terhadap waktu menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

$v\left(t\right)=\frac{d\left(\left(2t^2+4t^5\right)i+\left(5t-3\right)j\right)}{dt}$

$v\left(t\right)=\left(\left(4t+20t^4\right)i+\left(5\right)j\right)$ m/s

Persamaan kecepatan pada saat 2 detik

$v\left(2\right)=\left(4\left(2\right)+20\left(2\right)^4\right)i+\left(5\right)j\$

$v\left(2\right)=\left(8+320\right)i+\left(5\right)j\$

$v\left(2\right)=\left(400\right)i+\left(5\right)j\$ m/s

Persamaan kecepatan pada saat 5 detik

$v\left(5\right)=\left(4\left(5\right)+20\left(5\right)^4\right)i+\left(5\right)j$

$v\left(5\right)=\left(20+12.500\right)i+\left(5\right)j$

$v\left(5\right)=\left(\left(12.520\right)i+\left(5\right)j\right)$ m/s

Dari persamaan kecepatan tersebut, kita dapat mencari persamaan percepatan rata-rata. Percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan yang dialami partikel dalam selang waktu tertentu.

$\overline{a}\ =\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$

$\overline{a}\ =\frac{v\left(5\right)-v\left(2\right)}{t_2-t_1}$

$\overline{a}\ =\frac{\left(12.520i+5j\right)-\left(400i+5j\right)}{5-2}$

$\overline{a}\ =\frac{\left(12.520i+400i\right)+\left(5j-5j\right)}{3}$

$\overline{a}\ =\frac{12.120i+0}{3}$

$\overline{a}\ =\frac{12.120i}{3}$

$\overline{a}\ =4.040i$

Jadi, persamaan percepatan rata-rata yang dialami meteor pada waktu 2 detik hingga 5 detik adalah $4.040\ i$ m/s².

Diketahui:

Persamaan lintasan/posisi $r\left(t\right)=\left(\left(7-8t^2\right)i+\left(3t^2\right)j\right)$ m

Waktu t = 8 s

Ditanya:

Koordinat posisi $\left(r_x;\ r_y\right)$ = ?

Jawab:

Persamaan posisi adalah fungsi dari suatu partikel saat bergerak berdasarkan waktu.

Berdasarkan soal di atas, untuk menentukan koordinat posisi, maka tentukan terlebih dahulu persamaan posisi saat waktu 8 detik dengan memasukkan nilai t pada persamaan. Vektor i berada pada sumbu-$X$ dan vektor j berada pada sumbu-$Y$.

$r\left(t\right)=\left(7-8t^2\right)i+\left(3t^2\right)j$

$r\left(8\right)=\left(7-8\left(8\right)^2\right)i+\left(3\left(8\right)^2\right)j\$

$r\left(8\right)=\left(7-8\left(64\right)\right)i+\left(3\left(64\right)\right)j\$

$r\left(8\right)=\left(7-512\right)i+\left(192\right)j\$

$r\left(8\right)=\left(-505i+192j\right)$ m

Jadi, koordinat posisinya adalah (−505 ; 192) m.

Diketahui:

Komponen kecepatan $x$ $v_x=\left(2t\ i\right)$ m/s

Komponen kecepatan $y$ $v_y=\left(\left(3t^2+t\right)j\right)$ m/s

Posisi awal $r_0=\left(3;\ 5\right)=\left(3i+5j\right)$ m

Waktu t = 3 s

Ditanya:

Titik koordinat posisi nyamuk saat 3 detik $r\left(3\right)=?$

Jawab:

Dengan menggabungkan komponen kecepatan $x$ dan $y$ diperoleh persamaan kecepatan

$v\left(t\right)=v_x+v_y$

$v\left(t\right)=\left(2t\right)i+\left(3t^2+t\right)j$

Kecepatan merupakan perubahan posisi suatu partikel tiap selang waktu tertentu

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

Untuk mencari persamaan posisi, maka dapat kita integralkan menjadi

$dr=v\ dt\$

$\int_{r_0}^rdr=\int v\ dt\$

$r|_{r_0}^r=\int v\ dt\$

$r-r_0=\int v\ dt\$

$r=r_0+\int v\ dt\$

$r\left(t\right)=r_0+\int v\left(t\right)\ dt$

$r\left(t\right)=\left(3i+5j\right)+\int\left(\left(2t\right)i+\left(3t^2+t\right)j\right)\ dt$

$r\left(t\right)=\left(3i+5j\right)+\left(\left(t^2\right)i+\left(t^3+\frac{1}{2}t^2\right)j\right)$

$r\left(t\right)=\left(3+\left(t^2\right)\right)i+\left(\left(5+t^3+\frac{1}{2}t^2\right)j\right)\$

Persamaan posisi pada saat 3 detik adalah

$r\left(3\right)=\left(3+\left(3^2\right)\right)i+\left(\left(5+3^3+\frac{1}{2}3^2\right)j\right)\$

$r\left(3\right)=\left(3+9\right)i+\left(\left(5+27+4,5\right)j\right)\$

$r\left(3\right)=12i+36,5j\$ m

Sehingga dapat dituliskan titik koordinat posisinya

$r\left(3\right)=\left(12;\ 36,5\right)$ m

Jadi, titik koordinat posisi nyamuk saat 3 detik adalah $\left(12;\ 36,5\right)$ m.

Diketahui:

Kecepatan komponen $x$ $v_x=\left(\left(3t^3-2t\right)i\right)$ m/s

Kecepatan komponen $y$ $v_y=\left(\left(5t^2-4\right)j\right)$ m/s

Waktu t = 5 s

Ditanya:

Persamaan percepatan saat 5 detik $a\left(5\right)$ = ?

Jawab:

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel tiap selang waktu tertentu

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

Persamaan kecepatan dapat ditulis dengan menggabungkan komponen kecepatan $x$ dan $y$

$v\left(t\right)=v_x+v_y$

$v\left(t\right)=\left(3t^3-2t\right)i+\left(5t^2-4\right)j$

Dari persamaan kecepatan, kita dapat mencari persamaan percepatan. Percepatan adalah perubahan kecepatan suatu partikel tiap selang waktu tertentu. Karena perubahan kecepatan dianggap sangat kecil, maka kecepatan diturunkan terhadap waktu menjadi

$a\left(t\right)=\frac{dv}{dt}$

$a\left(t\right)=\frac{d\left(\left(3t^3-2t\right)i+\left(5t^2-4\right)j\right)}{dt}$

$a\left(t\right)=\left(\left(9t^2-2\right)i+\left(10t\right)j\right)$ m/s²

Persamaan percepatan pada saat 5 detik adalah

$a\left(t\right)=\left(9t^2-2\right)i+\left(10t\right)j$

$a\left(5\right)=\left(9\left(5\right)^2-2\right)i+\left(10\left(5\right)\right)j$

$a\left(5\right)=\left(225-2\right)i+\left(50\right)j$

$a\left(5\right)=\left(223i+50j\right)$ m/s²

Jadi, persamaan percepatan saat 5 detik adalah $\left(223i+50j\right)$ m/s².

Diketahui:

Percepatan pada komponen $x$ $a_x=4ti$

Percepatan pada komponen $y$ $a_y=\left(3t+1\right)j$

Waktu t = 5 s

Ditanya:

Percepatan saat 5 detik $a\left(5\right)$ = ?

Jawab:

Persamaan kecepatan pada saat $t$ dapat dituliskan dengan menggabungkan percepatan pada komponen $x$ dan $y$ terhadap waktu.

$a\left(t\right)=a_x+a_y$

$a\left(t\right)=4ti+\left(3t+1\right)j$

Kemudian substitusi nilai t kedalam persamaan di atas.

$a\left(t\right)=4ti+\left(3t+1\right)j$

$a\left(5\right)=4\left(5\right)i+\left(3\left(5\right)+1\right)j$

$a\left(5\right)=20i+\left(15+1\right)j$

$a\left(5\right)=20i+16j$

Jika diubah menjadi titik koordinat, maka 20 adalah komponen x karena memiliki satuan i dan 16 adalah komponen y karena memiliki satuan j. 

Jadi, tititk koordinat percepatan saat 5 detik adalah (20; 16) m/s².

Diketahui:

Komponen percepatan $x$ $a_x=\left(2i\right)$ m/s²

Komponen percepatan $y$ $a_y=\left(\left(2t+1\right)j\right)$ m/s²

Kecepatan awal $v_0$ = (0; 2) m/s

Waktu t = 3 detik

Ditanya:

Titik koordinat kecepatan pada saat 3 detik $\left(v_x;\ v_y\right)$ = ?

Jawab:

Kecepatan awal adalah kecepatan benda pada saat mulai bergerak. Berdasarkan soal, kecepatan awal dalam bentuk koordinat, yang mana 0 adalah komponen x dan 2 adalah komponen y. Jika dibuat dalam sebuah persamaan menjadi

$v_0=0i+2j$

$v_0=2j$

Percepatan adalah perubahan kecepatan yang dialami partikel dalam selang waktu tertentu

$a\ =\frac{\Delta v}{\Delta t}$

Karena perubahan kecepatan dianggap sangat kecil, maka kecepatan diturunkan terhadap waktu menjadi

$a=\frac{dv}{dt}$

Dengan menggabungkan komponen $x$ dan $y$ diperoleh persamaan percepatan

$a\left(t\right)=a_x+a_y$

$a\left(t\right)=2i+\left(2t+1\right)j$

Untuk mencari persamaan kecepatan pada saat $t$, persamaan percepatan di atas kita integralkan menjadi

$a=\frac{dv}{dt}$

$dv=a\ dt$

$\int_{v_0}^v\ dv=\int a\ dt$

$v\ |_{v_0}^v=\int a\ dt$

$v\ -v_0=\int a\ dt$

$v\ =v_0+\int a\ dt$

$v\left(t\right)\ =v_0+\int a\ dt$

$v\left(t\right)\ =v_0+\int a\left(t\right)\ dt$

$v\left(t\right)\ =2j+\int\left(2i+\left(2t+1\right)j\right)\ dt$

$v\left(t\right)\ =2j+\left(2t\ i+\left(\frac{2t^2}{2}+1t\right)j\right)$

$v\left(t\right)\ =2j+\left(2t\ i+\left(t^2+t\right)j\right)$

$v\left(t\right)\ =2t\ i+\left(t^2+t+2\right)j$

Persamaan kecepatan pada saat 3 detik

$v\left(t\right)\ =2t\ i+\left(t^2+t+2\right)j$

$v\left(3\right)\ =2\left(3\right)\ i+\left(\left(3\right)^2+3+2\right)j$

$v\left(3\right)\ =6\ i+\left(9+5\right)j$

$v\left(3\right)\ =\left(6\ i+14j\right)$ m/s

Diperoleh bahwa 6 adalah komponen x dan 14 adalah komponen y karena dilihat dari satuannya yaitu masing-masing i dan j.

Jadi, titik koordinat kecepatan pada saat 3 detik adalah (6; 14) m/s.

Diketahui:

Persamaan posisi 1 $r_1=\left(3i+5j\right)$ m

Persamaan posisi 2 $r_2=\left(12i-2j\right)$ m

Selang waktu $\Delta t=$ 15 s

Ditanya:

Komponen kecepatan rata-rata $\overline{v}$ = ?

Jawab:

Kecepatan rata-rata adalah perubahan posisi tiap satuan waktu,

$\overline{v}=\frac{\Delta r}{\Delta t}$, dengan $\Delta r=r_2-r_1$

$\overline{v}=\frac{r_2-r_1}{\Delta t}$

$\overline{v}=\frac{\left(12i-2j\right)-\left(3i+5j\right)}{\Delta t}$

$\overline{v}=\frac{\left(12i-3i\right)+\left(-2j-5j\right)}{15}$

$\overline{v}=\frac{9i-7j}{15}=\frac{9i}{15}-\frac{7j}{15}$

$\overline{v}=\left(0,6i-0,47j\right)$ m/s

Jadi, komponen kecepatan rata-rata partikel tersebut adalah $\left(0,6i-0,47j\right)$ m/s.

Diketahui:

Posisi $x$ $r_x=\left(\left(2t+7t^2\right)i\right)$ m

Posisi $y$ $r_y=\left(\left(8-9t\right)j\right)$ m

Ditanya:

Besar kecepatan awal $\left|v_0\right|=?$

Jawab:

Dengan menggabungkan komponen $x$ dan $y$ diperoleh persamaan posisi sebagai berikut

$r\left(t\right)=r_x+r_y$

$r\left(t\right)=\left(\left(2t+7t^2\right)i+\left(8-9t\right)j\right)$ m

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel tiap selang waktu tertentu

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

$v\left(t\right)=\frac{dr\left(t\right)}{dt}$

$v\left(t\right)=\frac{d\left(\left(2t+7t^2\right)i+\left(8-9t\right)j\right)}{dt}$

$v\left(t\right)=\left(\left(2+14t\right)i+\left(-9\right)j\right)$ m/s

Kecepatan awal berarti benda baru akan mulai bergerak, yang artinya $t=0$. Persamaan kecepatan awal tersebut adalah

$v\left(t\right)=\left(2+14t\right)i+\left(-9\right)j\$

$v\left(0\right)=\left(2+14\left(0\right)\right)i+\left(-9\right)j\$

$v\left(0\right)=\left(2+0\right)i+\left(-9\right)j\$

$v\left(0\right)=\left(2i-9j\ \right)$ m/s

Besar kecepatan awal dapat dicari dengan menggunakan persamaan

$\left|v_0\right|=\sqrt{v_x+v_y}$

$=\sqrt{2^2+\left(-9\right)^2}\$

$=\sqrt{4+81}\$

$=\sqrt{97}\$

$=9,8$ m/s

Jadi, besar kecepatan awal burung adalah 9,8 m/s.

Diketahui:

Persamaan posisi 1 $r_1=\left(2i-4j\right)$ m

Persamaan posisi 2 $r_2=\left(13i-6j\right)$ m

Ditanya:

Besar perpindahan $\left|\Delta r\right|$ = ?

Jawab:

Perpindahan merupakan perubahan kedudukan suatu partikel dari posisi satu ke posisi yang lain, $\Delta r=r_2-r_1$.

Sehingga untuk mencari perpindahan posisi atom gas adalah:

$\Delta r=\left(13i-6j\right)-\left(2i-4j\right)$

$\Delta r=\left(13i-2i\right)-\left(6j+4j\right)$

$\Delta r=\left(11i-2j\right)$ m

Hasil yang didapatkan pada perpindahan atom gas masih berupa persamaan yang mengandung satuan vektor (i dan j), sehingga untuk menentukan besar perpindahan, harus dicari resultan dari perpindahan tersebut. Berdasarkan persamaan perpindahan posisi 11i merupakan posisi pada sumbu-$X$, sedangkan $-$2j adalah posisi pada sumbu-$Y$.

$\left|\Delta r\right|=\sqrt{r_x^2+r_y^2}$

$=\sqrt{11^2+\left(-2\right)^2}$

$=\sqrt{121+4}$

$=\sqrt{125}$

$=\sqrt{\left(25\right)\left(5\right)}$

$=5\sqrt{5}$ m

Jadi, besar perpindahan atom gas adalah $5\sqrt{5}\$m.

Diketahui:

Posisi awal $r_0$ = (0 ; 0)

Komponen kecepatan $x$ $v_x=\left(\left(2t^2+5\right)i\right)$ m/s

Komponen kecepatan $y$ $v_y=\left(\left(7t\right)j\right)$ m/s

Waktu t = 2 s

Ditanya:

Besar posisi saat 2 detik $\left|r\right|=?$

Jawab:

Kecepatan adalah perubahan posisi suatu partikel tiap selang waktu tertentu.

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

Karena perubahan posisi dianggap sangat kecil, maka posisi diturunkan terhadap waktu menjadi

$v=\frac{dr}{dt}$

Selanjutnya, untuk mencari persamaan posisi, maka kita dapat menggunakan integral seperti berikut ini.

$dr=v\ dt\$

$\int_{r_0}^rdr=\int v\ dt\$

$r|_{r_0}^r=\int v\ dt\$

$r-r_0=\int v\ dt\$

$r=r_0+\int v\ dt\$

Komponen kecepatan pada soal di atas adalah

$v\left(t\right)=v_x+v_y$

$v\left(t\right)=\left(2t^2+5t\right)i+\left(7t\right)j$

Sehingga, persamaan posisinya adalah

$r(t)=r_0+\int v\left(t\right)\ dt$

$r(t)=0+\int\left(\left(2t^2+5\right)i+\left(7t\right)j\right)\ dt$

$r\left(t\right)=\left(\frac{2t^3}{3}+5t\right)i+\left(\frac{7t^2}{2}\right)j\$

Persamaan posisi pada saat 2 detik menjadi:

$r\left(t\right)=\left(\frac{2t^3}{3}+5t\right)i+\left(\frac{7t^2}{2}\right)j\$

$r\left(2\right)=\left(\frac{2\left(2\right)^3}{3}+5\left(2\right)\right)i+\left(\frac{7\left(2\right)^2}{2}\right)j\$

$r\left(2\right)=\left(\frac{\left(2\right)8}{3}+10\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(\frac{16}{3}+10\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(\frac{16+30}{3}\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(\frac{46}{3}\right)i+\left(14\right)j\ \$

$r\left(2\right)=\left(15,33\right)i+\left(14\right)j\ \$

Besar posisi saat 2 detik adalah

$\left|r\right|=\sqrt{r_x^2+r_y^2}$

$=\sqrt{15,33^2+14^2}$

$=\sqrt{235,0089+196}$

$=\sqrt{431,0089}$

$=20,8$ m

Jadi, besar posisi lebah saat 2 detik adalah 20,8 m.