Diketahui:

Diameter motor d_m = 50 cm = 0,5 m

Jari-jari motor r_m = 0,25 m

Diameter becak d_b = 80 cm = 0,8 m

Jari-jari becak r_b = 0,4 m

Waktu motor t_m = t_b =t = 1 menit

Banyaknya putaran roda motor n_m = 5

Banyaknya putaran roda becak n_b = 3

Ditanya:

Perbandingan kecepatan $v_m\ :\ v_b$ = ?

Jawab:

Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$. Kecepatan sudut ($\omega$) adalah hasil bagi sudut pusat yang ditempuh partikel dengan waktu tempuhnya, $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Karena $\frac{1}{T}=f$, maka persamaannya menjadi $\omega=2\pi f$, di mana frekuensi adalah banyaknya putaran setiap waktu, $f=\frac{n}{t}$.

Menentukan perbandingan $v_m:\ v_b$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{\omega_m r_m}{\omega_b r_b}$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{2\pi\ f_m\ r_m}{2\pi\ f_b\ r_b}$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{f_m\ r_m}{\ f_b\ r_b}\$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{\left(\frac{n_m}{t}\right)\ r_m}{\ \left(\frac{n_b}{t}\right)\ r_b}\$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{n_m\ r_m}{\ n_b\ r_b}\$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{\left(5\right)\left(0,25\right)}{\ \left(3\right)\left(0,4\right)}\$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{1,25}{\ 1,2}\ =\frac{125}{120}=\frac{25}{24}$

25 : 24

Jadi, perbandingan antara $v_{m\ }:\ v_b$ adalah 25 : 24.

Diketahui:

Jari-jari awal roda becak $r$

Jari-jari akhir roda becak $r'$

Kecepatan awal becak $v$

Kecepatan akhir becak $v'=\frac{3}{4}v$

Ditanya:

Jari-jari yang berkurang $x$ = ?

Jawab:

Pada kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$.

Roda pada becak merupakan hubungan roda sepusat, sehingga kecepatan sudutnya sama.

$\omega=\omega'$

$\frac{v}{r}=\frac{v'}{r'}$, di mana $r'=r-x$

$\frac{v}{r}=\frac{\frac{3}{4}v}{r-x}$

$\frac{r-x}{r}=\frac{3}{4}$

$4\left(r-x\right)=3r$

$4r-4x=3r$

$4r-3r=4x$

$r=4x$

$\frac{r}{4}=x$

Jadi, jari-jari roda yang berkurang sebesar $\frac{r}{4}.$

Diketahui:

Kecepatan $v$ = 15 m/s

Waktu t = 20 s

Sudut awal $\theta_0$ = 2 rad

Jari-jari r = 10 cm = 0,1 m

Ditanya:

Sudut akhir $\theta_1$= ?

Jawab:

Sudut akhir $\theta_1$ berarti hasil penjumlahan besar sudut awal dengan besar sudut yang ditempuh kipas angin setelah bergerak dengan kecepatan sudut $\omega$ dalam waktu t. Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$.

$\theta_1=\theta_0+\omega t$

$\theta_1=\theta_0+\frac{v}{r}t$

$\theta_1=2+\frac{15}{0,1}\left(20\right)$

$\theta_1=2+3.000$

$\theta_1=3.002$ rad

Jadi, besar sudut setelah 20 s adalah 3.002 rad.

Diketahui:

Kecepatan sudut bandul sebelum mengenai adik Fauzi $\omega_1$ = 20 rpm

Kecepatan sudut bandul setelah mengenai adik Fauzi $\omega_2$ = 5 rpm

Massa m = 100 g = 0,1 kg

Jari-jari r = 20 cm = 0,2 m

Ditanya:

Perbandingan kecepatan bandul sebelum dan sesudah mengenai adik Fauzi

$v_1\ :\ v_2\$ = ?

Jawab:

1 rotasi = 2$\pi$ rad

1 menit = 60 s

$\omega_1$ = 20 rpm = 20 rotasi/menit = $\frac{20\ \text{rotasi}}{\text{menit}\ }$ = $\frac{\left(20\right)\left(2\pi\right)\text{rad}}{60\ \text{s}\ }$ =$\frac{40}{60}\pi$ rad/s = $\frac{2}{3}\pi$ rad/s

$\omega_2$ = 5 rpm = 5 rotasi/menit = $\frac{5\ \text{rotasi}}{\text{menit}\ }$ = $\frac{\left(5\right)\left(2\pi\right)\text{rad}}{\text{60 s}\ }$ = $\frac{10\pi}{60}$ rad/s = $\frac{1}{6}\pi$ rad/s

Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$. Kemudian untuk menentukan kecepatan bandul sebelum dan sesudah menganai adik Fauzi, dimana $v_1\$adalah kecepatan sebelum benturan dan $v_2\$kecepatan setelah benturan, maka persamaannya

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{\omega_1r_1}{\omega_2r_2}$

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{\frac{2}{3}\pi\left(0,2\right)}{\frac{1}{6}\pi\left(0,2\right)}$

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{6}}$

$\frac{v_1}{v_2}=\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{6}{1}\right)$

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{12}{3}$

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{4}{1}$

Jadi, perbandingan kecepatan linear bandul sebelum dan setelah terbentur adalah 4 : 1.

Diketahui:

Massa m = 200 g = 0,2 kg

Kedalaman shuriken menancap di kayu $l$ = 2 cm = $2\times10^{-2}\text{}$m

Gaya F = 80 N

Jari-jari r = 8 cm = $8\times10^{-2}\text{}$ m

Ditanya:

Kecepatan sudut $\omega=?$

Jawab:

1) Menentukan perlambatan

Sesuai dengan hukum II Newton, bahwa besarnya percepatan suatu benda sebanding dengan besar gaya yang menyebabkan benda tersebut bergerak dan berbanding terbalik dengan massa yang dimilikinya.

$\Sigma F=ma$

Gaya di sini merupakan gaya hambat yang diterima shuriken dari papan kayu. Sehingga, penyelesaiannya menjadi:

$80\ =\ 0,2\ a$

$a=\frac{80}{0,2}$

$a=400$ m/s²

Karena mendapat gaya hambat, artinya shuriken mengalami perlambatan, sehingga $a$ bernilai negatif

$a=-400$ m/s²

2) Menentukan kecepatan awal

Sebelum menancap kedalam kayu, ada kecepatan awal $v_0$ yang dimiliki shuriken hingga akhirnya berhenti $\left(v_t=0\right)$. Secara perlahan, pada saat shuriken masuk kedalam kayu hingga kemudian berhenti, shuriken mengalami gerak lurus berubah beraturan

$v_t^2=v_0^2+2al$

$0=v_0^2​+2(−400)\left(2\times10^{-2}\right)\$

$0=v_0^2​-\left(1.600\times10^{-2}\ \right)$

$v_0^2=16$

$v_0^{ }=\sqrt{16}$

$v_0^{ }=4$ m/s

3) Menentukan kecepatan sudut

Kecepatan awal saat shuriken memasuki kayu sama dengan kecepatan awal Boruto saat melemparkan shurikan. Karena shuriken bergerak lurus beraturan, maka kecepatan sudut yang harus diberikan Boruto adalah dengan menggunakan persamaan gerak melingkar beraturan. Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$, $v=\omega r$. Sehingga, $\omega=\frac{v}{r}$.

$\omega=\frac{v_0}{r}$

$=\frac{4}{8\times10^{-2}}$

$=0,5\times10^2$

$=50$ rad/s

Jadi, kecepatan sudut yang harus diberikan Boruto adalah 50 rad/s.

Diketahui:

Sudut awal $\theta_0$ = 5 rad

Waktu t = 5 s

Kecepatan $v$ = 5 m/s

Jari-jari r = 2 cm = 0,02 m

Ditanya:

Posisi akhir $\theta_1=$ ?

Jawab:

Sudut akhir $\theta_1$ berarti hasil penjumlahan besar sudut awal dengan besar sudut yang ditempuh benda setelah bergerak dengan kecepatan sudut $\omega$ dalam waktu t. Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$, $v=\omega r$. Sehingga, $\omega=\frac{v}{r}$.

$\theta_1=\theta_0+\omega t$

$=\theta_0+\frac{v}{r}t$  

$=5+(\frac{5}{0,02})(\ 5)$

$=5+\frac{2.500}{2}$

$=5+1.250$

$=1.255$ rad

Jadi, posisi akhir benda adalah 1.255 rad.

Diketahui:

Jari-jari 1 r₁ = 5 cm = 0,05 m

Jari-jari 2 r₂ = 12 cm = 0,12 m

Jari-jari 3 r₃ = 8 cm = 0,08 m

Kecepatan sudut 3 $\omega\text{}$₃ = 4$\pi$ rad/s

Ditanya:

Perbandingan percepatan sentripetal $a_{s1}\ :a_{s3}$ = ?

Jawab:

Roda 2 dan 3 termasuk dua roda yang dihubungkan dengan tali, sehingga besar kecepatan linear kedua roda sama. Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$.

1) Menentukan $\omega_2$ dan $\omega_1$

$v_2=v_3$

$\omega_2r_2=\omega_3r_3$

$\omega_2\left(0,12\right)=\left(4\pi\right)\left(0,08\right)$

$\omega_2=\frac{\left(4\pi\right)\left(0,08\right)}{0,12}$

$\omega_2=2,67\pi$

Roda 2 sepusat dengan roda 1, sehingga kecepatan sudut keduanya sama.

$\omega_1=\omega_2=2,67\pi$

2) Menentukan perbandingan $$ $a_{s1}:\ a_{s3}$

Percepatan sentripetal $a_s​$ adalah percepatan yang diakibatkan oleh gaya yang selalu mengarah ke pusat lingkaran. Sehingga persamaannya menjadi $a_s​=\frac{v^2}{r}=\omega^2r$. Perbandingan percepatannya yaitu:

$\frac{a_{s1}}{a_{s3}}=\frac{\omega_1^2r_1}{\omega_3^2r_3}$

$\frac{a_{s1}}{a_{s3}}=\frac{\left(2,67\pi\right)_2^2\left(0,05\right)}{\left(4\pi\right)_2^2\left(0,08\right)}$

$\frac{a_{s1}}{a_{s3}}=\frac{\left(7,13\pi^2\right)\left(0,05\right)}{\left(16\pi^2\right)\left(0,08\right)}$

$\frac{a_{s1}}{a_{s3}}=\frac{0,36\pi^2}{1,28\pi^2}$

$\frac{a_{s1}}{a_{s3}}=\frac{36}{128}$

$\frac{a_{s1}}{a_{s3}}=\frac{9}{32}$

Jadi, perbandingan $$ $a_{s1}:\ a_{s3}\$ adalah 9 : 32.

Diketahui:

Jari-jari lintasan r_A = 1.500 km = 1.500.000 m

Perubahan jari-jari lintasan $\Delta$r = 25 m

Kecepatan $v$ = 114.200 km/jam

Ditanya:

Perbandingan periode sebelum dan sesudah bergeser T_A : T_B = ?

Jawab:

1 km = 1.000 m

1 jam = 3.600 s

Kecepatan $v$ = 114.200 km/jam = $\frac{114.200\ \text{km}\ }{\text{jam}\ }$= $\frac{\left(114.200\right)\left(1.000\ \right)\text{ m}}{\left(3.600\right)\text{ s}}\$ = 31.722,2 m/s

Jari-jari lintasan yang berubah rB = $r_A+\Delta r$ =$1.500.000+25$ =1.500.025 m

Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$.

Kecepatan sudut ($\omega$) adalah hasil bagi sudut pusat yang ditempuh partikel dengan waktu tempuhnya $\omega=\frac{2\pi}{T}$.

$\frac{v_A}{v_B}=\frac{\omega_A\ r_A}{\omega_B\ r_B}$

$\frac{v_A}{v_B}=\frac{\frac{2\pi}{T_A}\ r_A}{\frac{2\pi}{T_B}\ r_B}$

$\frac{v_A}{v_B}=\frac{T_B\ r_A}{T_{A\ }r_B}$

$\frac{31.722,2}{31.722,2}=\frac{\left(T_B\right)\left(1.500.000\right)}{\left(T_A\right)\left(1.500.025\right)}\$

$\frac{T_A}{T_B}=\frac{1.500.000}{1.500.025}=\frac{60.000}{60.001}$

Jadi, perbandingan periode sebelum dan sesudah digeser adalah 60.000 : 60.001.

Diketahui:

Massa m = 200 g = 0,2 kg

Tegangan tali T = 36 N

Jari-jari r = 30 cm = 0,3 m

Sudut $\theta$ = 45^o

Ditanya:

Kecepatan sudut $\omega$ = ?

Jawab:

Untuk menyelesaikan kasus pada soal, kita menggunakan gaya sentripetal $F_s$ di mana gaya tersebut merupakan gaya yang menyebabkan benda dapat bergerak melingkar yang diakibatkan oleh percepatan sentripetal ($a_s$) yang selalu mengarah ke pusat lingkaran.

Gaya-gaya yang bekerja pada sistem ditunjukkan seperti pada gambar berikut.

Karena bandul memiliki massa dan dihubungkan dengan tali, maka tali tersebut akan memiliki gaya tegangan tali $T$ yang arahnya searah dengan gaya sentripetal.

Penyelesaiannya menjadi:

$F_s=T-$ w $\cos\theta$

$m\ a_s=T-$ w $\cos\ \theta$

$m\ \omega^2\ r=T-$ w $\cos\theta$

$m\omega^2r=T-$ $mg\cos\theta$

$\left(0,2\right)\left(\omega^2\right)\left(0,3\right)=36-\left(0,2\right)\left(9,8\right)\cos\ 45$

$0,06\ \omega^{2\ }=\ 36\ -\ (0,2)(9,8)(0,7)$

$0,06\ \omega^{2\ }=\ 36\ -\ 1,372$

$\omega^{2\ }=\ \frac{34,628}{0,06}$

$\omega=\ \sqrt{577,13}$

$\omega=\ 24,02$ rad/s

Jadi, kecepatan sudut bandul adalah 24,02 rad/s.

Diketahui:

Jari-jari A r_A = 2 cm = 0,02 m

Jari-jari B r_B = 6 cm = 0,06 m

Jari-jari C r_C = 3 cm = 0,03 cm

Jari-jari D r_D = 4 cm = 0,04 cm

Kecepatan A $v_A$ = 6 m/s

Ditanya:

Kecepatan sudut C $\omega_C$ = ?

Jawab:

Pada kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$.

Hubungan roda A dan B adalah dua roda yang dihubungkan dengan tali, sehingga kecepatan linearnya sama, $v_A=v_B$.

$v_A=v_B=6\$ m/s

Hubungan roda B dan C adalah dua roda yang memiliki pusat yang sama atau sepusat, sehingga kecepatan sudutnya sama $\omega_B=\omega_C$

$\omega_B=\omega_C$

$\frac{v_B} {r_B}=\omega_C$

$\frac{6}{6\times10^{-2}}=\omega_C$

$100\ =\omega_C$

Jadi, kecepatan sudut roda C adalah 100 rad/s.