Contoh Soal

Pembahasan:

Aturan pembuatan garis bilangan suatu interval dalam menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah:

1) Interval terbuka yang ditunjukkan dengan tanda "$<$" dan "$>$", pada garis bilangan ditandai dengan noktah kosong ($\circ$)

2) Interval tertutup yang ditunjukkan dengan tanda "$\le$" dan "$\ge$", pada garis bilangan ditandai dengan noktah berisi ($\bullet$)

Pada garis bilangan tersebut, angka $1$ diberi noktah kosong, sedangkan tiga bilangan lain diberi noktah berisi. Jika diberi arsiran, maka himpunan penyelesaian adalah daerah di bawah garis panah merah pada garis bilangan. Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah di sebelah kanan $-\frac{3}{2}$ yang berarti $x\ge-\frac{3}{2}$ dan di sebelah kiri $1$ yang berarti $x<1$

Jadi, himpunan penyelesaian dari garis bilangan tersebut adalah $-\frac{3}{2}\le x<1.$

Pembahasan:

Sifat-sifat nilai mutlak:

a) Jika $a$ dan $b$ bilangan real, maka:

1. $\left|a\cdot b\right|=\left|a\right|\cdot\left|b\right|$
2. $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}$, dengan $b\ne0$

b) Jika $a\in$ bilangan real, maka $\left|a\right|\ne\sqrt{a^2}$

Sehingga, $\left|14-3x\right|=\left|3x-14\right|$ dapat ditunjukkan melalui langkah berikut.

$\left|14-3x\right|=\left|\left(-1\right)\left(3x-14\right)\right|$

$=\left|-1\right|\cdot\left|3x-14\right|$

$=1\cdot\left|3x-14\right|$

Jadi, jawaban yang tepat adalah $\left|14-3x\right|=\left|3x-14\right|$.

Pembahasan:

Untuk setiap bilangan real $x$, nilai mutlak $\left|x\right|$ ditentukan oleh:

$\left|x\right|=+x$, untuk $x>0$

$\left|x\right|=0$, untuk $x=0$

$\left|x\right|=-x$, untuk $x<0$

Sehingga nilainya menjadi:

$\left|12\right|=12$, karena $12>0$, dan

$\left|-7\right|=-\left(-7\right)=7$, karena $-7<0$

Jadi, nilai dari $\left|12\right|$ dan $\left|-7\right|$ adalah 12 dan 7.

Pembahasan:

Aturan pembuatan garis bilangan suatu interval dalam menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah:

1) Interval terbuka yang ditunjukkan dengan tanda "$<$" dan "$>$", pada garis bilangan ditandai dengan noktah kosong ($\circ$)

2) Interval tertutup yang ditunjukkan dengan tanda "$\le$" dan "$\ge$", pada garis bilangan ditandai dengan noktah berisi ($\bullet$)

Selang $\left(-\infty,\ 8\right)$ berarti arsiran di sebelah kiri dengan batas arsiran di ujung kiri tak terhingga, kemudian di sebelah kanan dibatasi oleh angka 8 yang diberi noktah berisi.

Jadi, gambar garis bilangan yang sesuai adalah:

Pembahasan:

Kedua ruas dijabarkan, kemudian koefisien yang memiliki variabel $x$ dikelompokkan, sehingga menjadi:

$$ $4\left(x-6\right)=12+\left(x+15\right)$

$\Leftrightarrow4x-24=12+x+15$

$\Leftrightarrow4x-24=27+x$

$\Leftrightarrow4x-x=27+24$

$\Leftrightarrow3x=51$

$\Leftrightarrow x=\frac{51}{3}=17$

Jadi, nilai $x$ adalah 17.

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini kita dapat mengalikan kedua ruas dengan KPK penyebut = 18, kemudian koefisien yang memiliki variabel $x$ dikelompokkan, sehingga menjadi:

$2x-\frac{2}{3}x+1=\frac{1}{9}+\frac{1}{6}\left(x-7\right)$

$\Leftrightarrow18\left(2x-\frac{2}{3}x+1\right)=18\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{6}\left(x-7\right)\right)$

$\Leftrightarrow\left(18\right)\left(2x\right)-\left(18\right)\left(\frac{2}{3}x\right)+\left(18\right)\left(1\right)=\left(18\right)\left(\frac{1}{9}\right)+\left(18\right)\left(\frac{1}{6}\right)\left(x-7\right)$

$\Leftrightarrow36x-\frac{36}{3}x+18=\frac{18}{9}+\frac{18}{6}\left(x-7\right)$

$\Leftrightarrow36x-12x+18=2+3\left(x-7\right)$

$\Leftrightarrow24x+18=2+3x-21$

$\Leftrightarrow24x+18=3x-19$ $$

$\Leftrightarrow24x-3x=-19-18$

$\Leftrightarrow21x=-37$

$\Leftrightarrow x=-\frac{37}{21}$

Jadi, nilai $x$ adalah $-\frac{37}{21}.$

Pembahasan:

Untuk setiap bilangan real $x$, nilai mutlak $\left|x\right|$ ditentukan oleh:

$\left|x\right|=+x$, untuk $x>0$

$\left|x\right|=0$, untuk $x=0$

$\left|x\right|=-x$, untuk $x<0$

Maka, persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut.

$\left|\left|\left|-4\right|\cdot\left|6-13\right|\right|+\left|\left|2\right|\cdot\right|6-7\left|-4\right|\right|$

$=\left|\left|-\left(-4\right)\cdot\left|-7\right|\right|+\left|2\cdot\right|-1\left|-4\right|\right|$

$=\left|\left|4\cdot\left(-\left(-7\right)\right)\right|+\left|2\cdot\left(-\left(-1\right)\right)-4\right|\right|$

$=\left|\left|\left(4\right)\left(7\right)\right|+\left|\left(2\right)\left(1\right)-4\right|\right|$

$=\left|\left|28\right|+\left|2-4\right|\right|$

$=\left|\left|28\right|+\left|-2\right|\right|$

$=\left|\left|28\right|+\left(-\left(-2\right)\right)\right|$

$=\left|28+2\right|$

$=\left|30\right|$

$=30$

Jadi, hasilnya adalah 30.

Pembahasan:

Himpunan bilangan asli $=\left\{1,\ 2,\ 3,\ .\ .\ .\right\}$

Koefisien yang memiliki variabel $x$ dikelompokkan dalam satu ruas, kemudian dihitung hingga ditemukan nilai dari variabel $x$ tersebut.

$5x-4\le x+4$

$\Leftrightarrow5x-x\le4+4$

$\Leftrightarrow4x\le8$

$\Leftrightarrow x\le\frac{8}{4}$

$\Leftrightarrow x\le2$

Pembuktian:

1) Untuk $x=2$

$5x-4\le x+4$

$5\left(2\right)-4\le2+4$

$10-4\le2+4$

$6\le6$ (benar)

2) Untuk $x=3$

$5x-4\le x+4$

$5\left(3\right)-4\le3+4$

$15-4\le3+4$

$11\le7$ (salah)

Dari pembuktian di atas, nilai $x\$yang memenuhi sudah sesuai.

Jadi, HP $=\left\{1,\ 2\right\}$

Pembahasan:

Misalkan $x=$ harga sepatu yang dipasang

Harga jual sepatu $=\left(100\%-20\%\right)\ .\ x$

$=\left(80\%\right)\ .\ x$

$=0,8x$

Dengan mengambil keuntungan 25% dari harga beli, maka:

Harga jual $=\left(100\%+25\%\right)$ dari harga beli

Model matematika yang terbentuk:

Harga beli $=\frac{100}{125}\times$ harga jual

$320.000=\frac{100}{125}\times\left(0,8x\right)$

$320.000=\frac{100\left(0,8\ x\right)}{125}$

$320.000=\frac{80x}{125}$

$\left(320.000\right)\left(125\right)=80x$

$40.000.000=80x$

$x=\frac{40.000.000}{80}=500.000$

Jadi, harga sepatu yang dipasang sebesar Rp500.000,00.

Pembahasan:

Persoalan tersebut dapat diselesaikan berdasarkan definisi nilai mutlak, di mana untuk setiap bilangan real $x$, nilai mutlak $\left|x\right|$ ditentukan oleh:

$\left|x\right|=+x$, untuk $x>0$

$\left|x\right|=0$, untuk $x=0$

$\left|x\right|=-x$, untuk $x<0$

$x-\left|2x-4\right|+1\le17$

Untuk menyelesaikan persamaan di atas, kita dapat menemukan interval masing-masing nilai mutlaknya sebagai berikut.

$\left|2x-4\right|=2x-4$ jika $2x-4\ge0\Leftrightarrow2x\ge4\Leftrightarrow x\ge2$

$\left|2x-4\right|=-\left(2x-4\right)=-2x+4$ jika $2x-4<0\Leftrightarrow2x<4\Leftrightarrow x<2$

Sehingga diperoleh interval sebagai berikut.

Selanjutnya kita dapat menemukan penyelesaian untuk masing-masing interval di atas.

Untuk $x\ge2$ , bentuk pertidaksamaannya menjadi:

$x-\left(2x-4\right)+1\le17$

$\Leftrightarrow x-\left(2x-4\right)\le17-1$

$\Leftrightarrow x-\left(2x-4\right)\le16$

$\Leftrightarrow x-2x+4\le16$

$\Leftrightarrow-x+4\le16$

$\Leftrightarrow-x\le16-4$

$\Leftrightarrow-x\le12$ , kedua ruas dikali dengan $-1$ sehingga tanda pertidaksamaan berubah menjadi kebalikannya

$\Leftrightarrow x\ge-12$

Untuk $x<2$, bentuk pertidaksamaannya menjadi:

$x-\left(-\left(2x-4\right)\right)+1\le17$

$\Leftrightarrow x-\left(-2x+4\right)\le17-1$

$\Leftrightarrow x+2x-4\le16$

$\Leftrightarrow3x-4\ \le16$

$\Leftrightarrow3x\le16+4$

$\Leftrightarrow3x\le20$

$\Leftrightarrow x\le\frac{20}{3}$

Selanjutnya dapat digambarkan penyelesaiannya pada garis bilangan berikut.

Jadi, HP $=\left\{x\mid-12\le x\le\frac{20}{3},\ x\in R\right\}$.