Contoh Soal

Pembahasan:

Diketahui $P\left(n\right)$ benar untuk setiap bilangan asli $n\ge a$ untuk suatu bilangan asli $a$.

Diperhatikan bahwa $a+0,5$ bukan merupakan bilangan asli. Artinya pernyataan $P\left(n\right)$ tidak benar untuk $n=a+0,5$

Pembahasan:

Untuk sembarang notasi sigma

$\sum_{n=a}^bU_n$

dengan

$a:$ suatu bilangan bulat non-negatif,

$b:$ suatu bilangan bulat positif,

$n:$ suatu variabel dalam bilangan bulat non-negatif, dapat berupa $k,\ i,$ atau yang lainnya,

$U_n:$ adalah rumus suku ke-$n$ suatu deret

maka dari notasi sigma tersebut

$a$ disebut batas bawah

$b$ disebut batas atas

himpunan $\left\{a,\ a+1,\ a+2,\ \dots,\ b-1,\ b\right\}$ disebut daerah penjumlahan.

Dari notasi sigma berikut

$\sum_{i=1}^{7}(i^2-1)$ .

diperoleh batas bawahnya $a=1$ dan batas atasnya $b=7$

Jadi daerah penjumlahannya adalah

$\left\{1,\ 1+1,\ 1+2,\ \dots,\ 7\right\}=\left\{1,\ 2,\ 3,\ \dots,\ 7\right\}$

Pembahasan:

Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

1. Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=a$, dengan $a$ bilangan asli terkecil yang memenuhi $S\left(n\right)$.
2. Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$, kemudian akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$.

Pernyataan $S\left(n\right)$ dikatakan benar untuk $n=p$ ($p$ dapat berupa bilangan maupun variabel) jika dengan mensubstitusikan $n=p$ pada $S\left(n\right)$, maka pernyataan $S\left(n\right)$ benar/berlaku.

Pada soal dinyatakan bahwa "jika $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$" artinya telah diandaikan bahwa $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$. Langkah selanjutnya adalah membuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$, yaitu dengan mensubstitusikan $n=k+1$ pada $S\left(n\right)$ diperoleh

$-2+2+6+10+\dots+(4k-6)+(4(k+1)-6)=2(k+1)^2-4(k+1)$

Pembahasan:

Secara umum, pernyataan $S\left(n\right)$ dikatakan benar untuk $n=p$ ($p$ dapat berupa bilangan maupun variabel) jika dengan mensubstitusikan $n=p$ pada $S\left(n\right)$, maka pernyataan $S\left(n\right)$ benar/berlaku.

Pada soal telah diandaikan bahwa $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k$. Artinya $P\left(k\right)$ bernilai benar, yaitu dengan mensubstitusikan $n=k$ pada $P\left(n\right)$. Diperoleh

$n^3+3n^2+2n=k^3+3k^2+2k$ habis dibagi 6

Pembahasan:

Secara umum, pembuktian menggunakan prinsip induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

1. Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=a$, dengan $a$ bilangan asli terkecil yang memenuhi $S\left(n\right)$.
2. Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$, kemudian akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$.

Diperhatikan kembali setiap pilihan jawaban yang ada.

1. Mengepel seluruh lantai yang ada di rumah tidak serupa dengan konsep induksi matematika sebab tidak dapat dibuat urutan dalam bilangan asli.
2. Berlari mengelilingi lapangan tidak serupa dengan konsep induksi matematika sebab tidak dapat dibuat urutan dalam bilangan asli.
3. Memindahkan saluran (channel) TV secara acak tidak serupa dengan konsep induksi matematika sebab tidak dapat dibuat urutan dalam bilangan asli.
4. Memotong rumput tidak serupa dengan konsep induksi matematika sebab tidak dapat dibuat urutan dalam bilangan asli.
5. Menaiki sebuah gedung dengan lift serupa dengan konsep induksi matematika sebab dapat dibuat urutan dalam bilangan asli, yaitu lantai ke-2, ke-3, dan seterusnya hingga sampai lantai tujuan.

Jadi contoh yang serupa dengan konsep induksi matematika adalah Kirana dari lantai 2 naik ke lantai 8 sebuah gedung menggunakan lift.

Pembahasan:

Secara umum notasi sigma didefinisikan sebagai berikut:

$\sum_{i=a}^bU_i=U_a+U_{a+1}+U_{a+2}+\dots+U_{b-2}+U_{b-1}+U_b$

atau dengan mensubstitusi $i=a$ sampai $i=b$ pada $U_i$

dengan

$a:$ suatu bilangan bulat non-negatif,

$b:$ suatu bilangan bulat positif,

$i:$ suatu variabel dalam bilangan bulat non-negatif, dapat berupa $k,\ n,$ atau yang lainnya,

$U_i:$ rumus suku ke-$i$ suatu barisan bilangan.

Selanjutnya ruas kanan pada bentuk umum tersebut disebut dengan bentuk/notasi jumlahan dan ruas kirinya disebut dengan bentuk/notasi sigma.

Perhatikan deret berikut!

$5-8+11-14+\dots+35$

Akan dicari notasi sigma dari deret tersebut.

Diperhatikan bahwa suku-suku pada deret (penjumlahan) tersebut berupa bilangan positif dan bilangan negatif yang bergantian.

Artinya terdapat perkalian dengan $-1$, yang berupa $\left(-1\right)^n$.

Suku pertama bernilai positif, sehingga $n$ haruslah dimulai dari $0$.

Semua pilihan jawaban memuat $\left(3n+5\right)$.

Diperoleh

untuk $n=0$, maka $\left(-1\right)^0\left(3n+5\right)=1.\left(3.0+5\right)=1.5=5$

untuk $n=1$, maka $\left(-1\right)^1\left(3n+5\right)=-1.\left(3.1+5\right)=-1.8=-8$

untuk $n=2$, maka $\left(-1\right)^2\left(3n+5\right)=1.\left(3.2+5\right)=6+5=11$

untuk $n=3$, maka $\left(-1\right)^3\left(3n+5\right)=-1.\left(3.3+5\right)=-1\left(9+5\right)=-14$

Akan dicari $n$ untuk suku terakhir, karena suku terakhir bernilai positif, maka $n$ haruslah bernilai genap.

Cukup dicek nilai $n$ pada $3n+5$, yaitu

$3n+5=35$

$3n=35-5$

$3n=30$

$n=\frac{30}{3}$

$n=10$

Artinya $n$ dimulai dari 0 hingga 10.

Diperoleh notasi sigma deret tersebut adalah

$\sum_{n=0}^{10}\left(-1\right)^n\left(3n+5\right)$

Pembahasan:

Secara umum, pernyataan $S\left(n\right)$ dikatakan benar untuk $n=p$ ($p$ dapat berupa bilangan maupun variabel) jika dengan mensubstitusikan $n=p$ pada $S\left(n\right)$, maka pernyataan $S\left(n\right)$ benar/berlaku.

Untuk mencari ruas kiri persamaan $S\left(n\right)$, cukup dengan mensubstitusikan $n$ dengan $k+2$, sehingga

$-1-2-4-8-\dots-\frac{2^n}{2}=-1-2-4-8-\dots-\frac{2^{k+2}}{2}$

$-1-2-4-8-\dots-\frac{2^n}{2}=-1-2-4-8-\dots-\frac{2^{k+1}.2}{2}$

$-1-2-4-8-\dots-\frac{2^n}{2}=-1-2-4-8-\dots-2^{k+1}$

Jadi ruas kiri persamaan $S\left(n\right)$ untuk $n=k+2$ adalah

$-1-2-4-8-\dots-2^{k+1}$

Pembahasan:

Menggunakan sifat keseimbangan batasan pada operasi sumasi yaitu

$\sum_{i=m}^na_i=\sum_{i=m+p}^{n+p}a_{i-p}$

Perhatikan bahwa bentuk $\left(k^2-4k+4\right)$ dapat difaktorkan menjadi $\left(k-2\right)^2$. Dengan menggunakan fakta ini dan sifat keseimbangan batasan, maka

$\sum_{k=10}^{20}k^2=2.585$

$\sum_{k=10+2}^{20+2}\left(k-2\right)^2=2.585$

$\sum_{k=12}^{22}\left(k^2-4k+4\right)=2.585$

Jadi, nilai dari$$ $\sum_{k=12}^{22}\left(k^2-4k+4\right)=2.585$

Pembahasan:

menggunakan sifat operasi sumasi

1. $\sum_{i=1}^nc=cn$
2. $\sum_{i=1}^n\left(a_i\pm b_i\right)=\sum_{i=1}^na_i\pm\sum_{i=1}^nb_i$
3. $\sum_{i=1}^nca_i=c\sum_{i=1}^na_{i\ }$
4. jika $m$ bilangan bulat dengan $1<m<n$ dan $a_i$ menyatakan rumus suatu barisan bilangan, maka berlaku $\sum_{i=m+1}^na_i=\sum_{i=1}^na_{i\ }-\sum_{i=1}^ma_i$
5. $\sum_{i=1}^ni=1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

maka

$\sum_{i=4}^{41}\left(4i-3\right)=\sum_{i=4}^{41}4i-\sum_{i=4}^{41}3$ (sifat 2)

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =4\sum_{i=4}^{41}i-\sum_{i=4}^{41}3$ (sifat 3)

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =4\left(\sum_{i=1}^{41}i-\sum_{i=1}^3i\right)-\left(\sum_{i=1}^{41}3-\sum_{i=1}^33\right)$ (sifat 4)

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =4\left(\frac{41\left(41+1\right)}{2}-\frac{3\left(3+1\right)}{2}\right)-\left(\sum_{i=1}^{41}3-\sum_{i=1}^33\right)$ (sifat 5)

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =4\left(\frac{41\left(41+1\right)}{2}-\frac{3\left(3+1\right)}{2}\right)-\left(3\left(41\right)-3\left(3\right)\right)$ (sifat 1)

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =4\left(\frac{41\left(42\right)}{2}-\frac{3\left(4\right)}{2}\right)-\left(123-9\right)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2\left(1722-12\right)-\left(114\right)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2\left(1710\right)-\left(114\right)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3420-114$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3306$

Jadi, nilai dari $\sum_{i=4}^{41}\left(4i-3\right)=3.306$

Pembahasan:

Perhatikan beberapa sifat notasi sigma berikut!

1. $\sum_{i=1}^nU_i=U_1+U_2+U_3+\dots+U_n$
2. $\sum_{i=1}^nU_i=\sum_{j=1}^nU_j$
3. $\sum_{i=1}^nC=Cn$
4. $\sum_{i=1}^nCU_i=C\sum_{i=1}^nU_i$
5. $\sum_{i=1}^n\left(U_i\pm V_i\right)=\sum_{i=1}^nU_i\pm\sum_{i=1}^nV_i$
6. $\sum_{i=1}^n\left(U_i+V_i\right)^2=\sum_{i=1}^nU_i^2+2\sum_{i=1}^nU_iV_i+\sum_{i=1}^nV_i^2$
7. $\sum_{i=1}^nU_i+\sum_{i=n+1}^mU_i=\sum_{i=1}^mU_i$
8. $\sum_{i=1}^nU_i=\sum_{i=0}^{n-1}U_{i+1}=\sum_{i=2}^{n+1}U_{i-1}$

dengan

$n$ dan $m$: suatu bilangan bulat non-negatif

$U_i$: rumus suku ke-$i$ suatu deret

$V_i$: rumus suku ke-$i$ suatu deret

$C$: suatu konstanta

Akan dicek kebenaran dari masing-masing pernyataan.

Pernyataan nomor 1 yaitu

$\sum_{n=1}^5\left(2n+7\right)=\sum_{n=1}^5\left(n+3\right)+\sum_{n=1}^5\left(n+4\right)$

merupakan pernyataan yang benar sebab

$\sum_{n=1}^5\left(2n+7\right)=\sum_{n=1}^5\left(n+3+n+4\right)$

berdasarkan sifat 5 diperoleh

$\sum_{n=1}^5\left(2n+7\right)=\sum_{n=1}^5\left(n+3\right)+\sum_{n=1}^5\left(n+4\right)$

Pernyataan nomor 2 yaitu

$\sum_{k=1}^66k^2=6k\sum_{k=1}^6k$

merupakan pernyataan yang salah sebab

berdasarkan sifat 4 diperoleh

$\sum_{k=1}^66k^2=6\sum_{k=1}^6k^2\ne6k\sum_{k=1}^6k$

Pernyataan nomor 3 yaitu

$\sum_{i=1}^4\left(i+3\right)^2=\sum_{i=1}^4i^2+6\sum_{i=1}^4i+36$

merupakan pernyataan yang benar sebab

berdasarkan sifat 6 diperoleh

$\sum_{i=1}^4\left(i+3\right)^2=\sum_{i=1}^4i^2+2\sum_{i=1}^4i.3+\sum_{i=1}^43^2$

$\sum_{i=1}^4\left(i+3\right)^2=\sum_{i=1}^4i^2+2\sum_{i=1}^43i+\sum_{i=1}^49$

berdasarkan sifat 4 diperoleh

$\sum_{i=1}^4\left(i+3\right)^2=\sum_{i=1}^4i^2+2.3\sum_{i=1}^4i+\sum_{i=1}^49$

$\sum_{i=1}^4\left(i+3\right)^2=\sum_{i=1}^4i^2+6\sum_{i=1}^4i+\sum_{i=1}^49$

berdasarkan sifat 3 diperoleh

$\sum_{i=1}^4\left(i+3\right)^2=\sum_{i=1}^4i^2+6\sum_{i=1}^4i+9.4$

$\sum_{i=1}^4\left(i+3\right)^2=\sum_{i=1}^4i^2+6\sum_{i=1}^4i+36$

Pernyataan nomor 4 yaitu

$\sum_{j=1}^712=84$

merupakan pernyataan yang benar sebab

berdasarkan sifat 3 diperoleh

$\sum_{j=1}^712=12\times7=84$

Pernyataan nomor 5 yaitu

$\sum_{p=1}^5\left(5p-3\right)=\sum_{p=0}^4\left(5p+2\right)$

merupakan pernyataan yang salah sebab

berdasarkan sifat 8 diperoleh

$\sum_{p=1}^5\left(5p-3\right)=\sum_{p=0}^{5-1}\left(5\left(p+1\right)-3\right)$

$\sum_{p=1}^5\left(5p-3\right)=\sum_{p=0}^4\left(5p+5-3\right)$

$\sum_{p=1}^5\left(5p-3\right)\neq\sum_{p=0}^4\left(5p+2\right)$

Jadi pernyataan yang benar dinyatakan oleh nomor 1, 3, dan 4