Contoh Soal

Pembahasan:

Jika $f\left(x\right)$ adalah suatu fungsi dari $x$ dan $a$ adalah suatu konstanta, maka

$\lim\limits_{x\to a}k.f\left(x\right)=k.\lim\limits_{x\to a}f\left(x\right)$

Dengan demikian,

$$ Jika $f\left(x\right)=4x$, maka

$\lim\limits_{x\to a}f\left(x\right)=4\lim\limits_{x\to a}x$

Pembahasan:

Jika $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ adalah fungsi-fungsi dari $x$ dan $c$ adalah suatu konstanta, maka

$\lim\limits_{x\to c}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=\lim\limits_{x\to c}f\left(x\right)+\lim\limits_{x\to c}g\left(x\right)$

Dengan demikian,

Jika $f\left(x\right)=x^2-2$ dan $g\left(x\right)=8x-3$, maka

$\lim\limits_{x\to a}\left(\left(x^2-2\right)+\left(8x-3\right)\right)=\lim\limits_{x\to a}\left(x^2-2\right)+\lim\limits_{x\to a}\left(8x-3\right)$

Pembahasan:

Jika $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ adalah fungsi-fungsi dari $x$ dan $c$ adalah suatu konstanta, maka

$\lim\limits_{x\to c}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=\lim\limits_{x\to c}f\left(x\right)-\lim\limits_{x\to c}g\left(x\right)$

Dengan demikian,

Jika $f\left(x\right)=4x$ dan $g\left(x\right)=3x+1$ maka

$\lim\limits_{x\to a}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=\lim\limits_{x\to a}4x-\lim\limits_{x\to a}\left(3x+1\right)$

Pembahasan:

Pada soal ini, kita dapat menggunakan dua sifat limit, yaitu:

1. Jika $f\left(x\right)$ adalah fungsi dari $x$ dan $c$ adalah suatu konstanta, maka $\lim\limits_{x\to c}$ $\left[f\left(x\right)\right]^n=\left[\lim\limits_{x\to c}f\left(x\right)\right]^n$
2. Jika $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ adalah fungsi-fungsi dari $x$ dan $c$ adalah suatu konstanta, maka$\lim\limits_{x\to c}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=\lim\limits_{x\to c}f\left(x\right)-\lim\limits_{x\to c}g\left(x\right)$

Dengan demikian,

Jika $f\left(x\right)=3x^2$ dan $g\left(x\right)=5x$

$\lim\limits_{x\to a}=\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]^4=\lim\limits_{x\to a}\left[3x^2+5x\right]^4$

menggunakan sifat nomor 1, diperoleh

$\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to a}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]^4=\left[\lim\limits_{x\to a}\left(3x^2+5x\right)\right]^4$

kemudian menggunakan sifat nomor 2, sehingga diperoleh

$\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to a}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]^4=\left[\lim\limits_{x\to a}3x^2+\lim\limits_{x\to a}5x\right]^4$

Pembahasan:

Jika $f$ dan $g$ fungsi-fungsi dari $x$ dan $c$ adalah suatu konstanta, maka

$\lim\limits_{x\to c}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\lim\limits_{x\to c}f\left(x\right)+\lim\limits_{x\to c}g\left(x\right)$

Selanjutnya untuk mencari nilai limit dari $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ menggunakan substitusi langsung, faktorisasi, atau perkalian sekawan.

Dengan demikian,

$\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{x^2+2x-3}{x-1}+\frac{x^2-1}{x-1}\right)=\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+2x-3}{x-1}+\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$

Jika menggunakan substitusi langsung, akan diperoleh nilai bentuk tak tentu. Maka kita gunakan strategi kedua yaitu faktorisasi.

$=\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+2x-3}{x-1}+\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$

$=\lim\limits_{x\to1}\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}+\lim\limits_{x\to1}\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}$

$=\lim\limits_{x\to1}\left(x+3\right)+\lim\limits_{x\to1}\left(x+1\right)$

$=\left(1+3\right)+\left(1+1\right)$

$=4+2$

$=6$

Pembahasan:

Untuk menentukan nilai limit, pada satu titik, kita memiliki 3 cara yaitu:

1. Strategi substitusi langsung
2. Strategi faktorisasi
3. Strategi perkalian dengan bentuk sekawan

Gunakan strategi yang pertama yaitu substitusi langsung. Jika pada substitusi langsung diperoleh nilai bukan bentuk tak tentu, maka itu adalah nilai limit yang bersangkutan.

$\lim\limits_{x\to1}\frac{2x^2+cx-3}{5x+1}=\frac{1}{2}$

$\frac{2\left(1\right)^2+c\left(1\right)-3}{5\left(1\right)+1}=\frac{1}{2}$

$\frac{2+c-3}{5+1}=\frac{1}{2}$

$\frac{c-1}{6}=\frac{1}{2}$

$2\left(c-1\right)=6$

$2c-2=6$

$2c=8$

$c=4$

Pembahasan:

Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi dari $x$ dan $c$ adalah suatu konstanta, maka

$\lim\limits_{x\to c}\left[f\ \left(x\right).g\left(x\right)\right]=\lim\limits_{x\to c}f\left(x\right).\lim\limits_{x\to c}g\left(x\right)$

Selanjutnya untuk mencari nilai limit dari $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ digunakan strategi substitusi langsung.

Dengan demikian,

$$ $\lim\limits_{x\to1}\left(x-1\right)\left(2x+4\right)$ $=\lim\limits_{x\to1}\left(x-1\right).\lim\limits_{x\to1}\left(2x+4\right)$

$=\left(1-1\right).\left(2\left(1\right)+4\right)$

$=0\times6$

$=0$

Pembahasan:

Untuk menentukan nilai limit pada satu titik, kita memiliki 3 cara yaitu:

1. Strategi substitusi langsung
2. Strategi faktorisasi
3. Strategi perkalian dengan bentuk sekawan

Jika menggunakan substitusi langsung, akan diperoleh nilai bentuk tak tentu. Maka kita gunakan strategi kedua yaitu faktorisasi. Lakukan faktorisasi aljabar untuk menghilangkan bentuk tak tentu, kemudian gunakan kembali substitusi langsung.

$\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}$

$=\lim\limits_{x\to2}\frac{x+2}{x-1}$

$=\frac{2+2}{2-1}$

$=4$

Pembahasan:

Diketahui:

$\lim\limits_{x\to2}f\left(x\right)=2$

$\lim\limits_{x\to2}g\left(x\right)=9$

Ditanya:

$\lim\limits_{x\to2}\left(2f^2\left(x\right)-\frac{1}{3}\sqrt{g\left(x\right)}\right)=?$

Jawab:

Jika $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ adalah fungsi-fungsi dari $x$, $n,$ dan $c$ adalah suatu konstanta, maka

$\lim\limits_{x\to c}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=\lim\limits_{x\to c}f\left(x\right)-\lim\limits_{x\to c}g\left(x\right)$

$\lim\limits_{x\to c}k.f\left(x\right)=k.\lim\limits_{x\to c}f\left(x\right)$

$\lim\limits_{x\to c}\left(f\left(x\right)\right)^n=\left(\lim\limits_{x\to c}f\left(x\right)\right)^n$

Dengan demikian,

$\lim\limits_{x\to2}\left(2f^2\left(x\right)-\frac{1}{3}\sqrt{g\left(x\right)}\right)=2\left(\lim\limits_{x\to2}f\left(x\right)\right)^2-\frac{1}{3}\left(\lim\limits_{x\to2}g\left(x\right)\right)^{\frac{1}{2}}$

$=2\left(2\right)^2-\frac{1}{3}\left(9\right)^{\frac{1}{2}}$

$=2\left(4\right)-\frac{1}{3}\left(3\right)$

$=8-1$

$=7$

Pembahasan:

Diketahui:

$\lim\limits_{x\to a}f\left(x\right)=m$

$f\left(x\right)=2x$

Ditanya:

$\lim\limits_{x\to a}f\left(x^2-2x\right)=?$

Jawab:

Dikarenakan $f\left(x\right)=2x$ dan $\lim\limits_{x\to a}f\left(x\right)=m$ maka

$$ $\lim\limits_{x\to a}f\left(x\right)=m$

$\lim\limits_{x\to a}2x=m$

$2\lim\limits_{x\to a}x=m$

$\lim\limits_{x\to a}x=\frac{1}{2}m$

Selanjutnya,

$f\left(x^2-2x\right)=2\left(x^2-2x\right)$

$=2x^2-4x$

Sehingga,

$\lim\limits_{x\to a}f\left(x^2-2x\right)=\lim\limits_{x\to a}\left(2x^2-4x\right)$

$=\lim\limits_{x\to a}2x^2-\lim\limits_{x\to a}4x$

$=2\lim\limits_{x\to a}x^2-4\lim\limits_{x\to a}x$

$=2\left(\lim\limits_{x\to a}x\right)^2-4\lim\limits_{x\to a}x$

$=2\left(\frac{1}{2}m\right)^2-4\left(\frac{1}{2}m\right)$

$=2\left(\frac{1}{4}m^2\right)-4\left(\frac{1}{2}m\right)$

$=\frac{1}{2}m^2-2m$

Maka, $\lim\limits_{x\to a}f\left(x^2-2x\right)=\frac{1}{2}m^2-2m$