Latihan Matematika Peminatan Kelas X Aljabar Vektor
# 3
Pilgan

Diketahui vektor u→=(5, 2, −3)\overrightarrow{u}=\left(5,\ 2,\ -3\right) dan v→=(2, 1, −2)\overrightarrow{v}=\left(2,\ 1,\ -2\right). Proyeksi vektor ortogonal u→\overrightarrow{u} pada v→\overrightarrow{v} adalah ....

A

(4, 2, −4)\left(4,\ 2,\ -4\right)

B

(2, 1, −2)\left(2,\ 1,\ -2\right)

C

(2, −1, 2)\left(2,\ -1,\ 2\right)

D

(2, −1, −2)\left(2,\ -1,\ -2\right)

E

(4, −2, −4)\left(4,\ -2,\ -4\right)

Pembahasan:

Diketahui:

u→=(5, 2, −3)\overrightarrow{u}=\left(5,\ 2,\ -3\right)

v→=(2, 1, −2)\overrightarrow{v}=\left(2,\ 1,\ -2\right)

Ditanya:

Proyeksi vektor ortogonal u→\overrightarrow{u} pada v→\overrightarrow{v} atau dilambangkan dengan u→v→=?\overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=?

Jawab:

Proyeksi vektor ortogonal u→\overrightarrow{u} padav→\overrightarrow{v} dapat dinyatakan oleh

u→v→=u→⋅v→∣v→∣2⋅v→\overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{v}\right|^2}\cdot\overrightarrow{v}

⇔ u→v→=(5, 2, −3)⋅(2, 1, −2)((2)2+(1)2+(−2)2)2⋅(2, 1, −2)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\frac{\left(5,\ 2,\ -3\right)\cdot\left(2,\ 1,\ -2\right)}{\left(\sqrt{\left(2\right)^2+\left(1\right)^2+\left(-2\right)^2}\right)^2}\cdot\left(2,\ 1,\ -2\right)

⇔ u→v→=(5)(2)+(2)(1)+(−3)(−2)(4+1+4)2(2, 1, −2)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\frac{\left(5\right)\left(2\right)+\left(2\right)\left(1\right)+\left(-3\right)\left(-2\right)}{\left(\sqrt{4+1+4}\right)^2}\left(2,\ 1,\ -2\right)

⇔ u→v→=10+2+6(9)2(2, 1, −2)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\frac{10+2+6}{\left(\sqrt{9}\right)^2}\left(2,\ 1,\ -2\right)

⇔ u→v→=189(2, 1, −2)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\frac{18}{9}\left(2,\ 1,\ -2\right)

⇔ u→v→=2(2, 1, −2)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=2\left(2,\ 1,\ -2\right)

⇔ u→v→=(2(2), 2(1), 2(−2))\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\left(2\left(2\right),\ 2\left(1\right),\ 2\left(-2\right)\right)

⇔ u→v→=(4, 2, −4)\Leftrightarrow\ \overrightarrow{u}_{\overrightarrow{v}}=\left(4,\ 2,\ -4\right)

Jadi, proyeksi ortogonal vektor u→\overrightarrow{u} pada v→\overrightarrow{v} adalah (4, 2, −4)\left(4,\ 2,\ -4\right)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10