Diketahui:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}$ atau dalam bentuk koordinat $\overrightarrow{a}=\left(1,\ 2\right)$

$\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}$ atau dalam bentuk koordinat $\overrightarrow{b}=\left(-1,\ 2\right)$

Misalkan sudut antara kedua vektor adalah $\theta$.

Ditanya:

$\sin\theta=?$

Jawab:

Tidak ada hubungan langsung antara sinus dan vektor, namun kita dapat menggunakan hubungan cosinus dan vektor serta trigonometri untuk menemukan sinus $\theta$.

Cosinus sudut antara dua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.

$\cos\theta=\frac{\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}$

$\Leftrightarrow\ \cos\theta=\ \frac{\left(1,\ 2\right)\cdot\left(-1,\ 2\right)}{\sqrt{\left(1\right)^2+\left(2\right)^2}\cdot\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(2\right)^2}}$

$\Leftrightarrow\ \cos\theta=\ \frac{\left(1,\right)\left(-1\right)+\left(2\right)\left(2\right)}{\sqrt{1+4}\cdot\sqrt{1+4}}$

$\Leftrightarrow\ \cos\theta=\ \frac{-1+4}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow\ \cos\theta=\ \frac{3}{5}$

Menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.

Perhatikan bahwa cosinus adalah perbandingan sisi samping dan miring sebuah segitiga siku-siku (ingat: cos - sami), sehingga $\ \cos\theta=\ \frac{3}{5}$ dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Sinus merupakan perbandingan sisi depan dan sisi miring sebuah segitiga siku-siku (ingat: sin - demi), sehingga untuk menemukan nilai sinus, kita harus menemukan panjang sisi depan atau $d$ terlebih dahulu dengan menggunakan Pitagoras.

$d^2+3^2=5^2$

$\Leftrightarrow\ d^2+9=25$

$\Leftrightarrow\ d^2=25-9$

$\Leftrightarrow\ d^2=16$

$\Leftrightarrow\ d=4$

Dengan demikian, nilai sinus kedua vektor dapat diperoleh sebagai berikut

$\sin\theta=\frac{\ \text{depan}}{\ \ \text{miring}}$

$\Leftrightarrow\sin\theta=\frac{4}{5}$

Jadi, nilai sinus yang terbentuk antara kedua vektor tersebut adalah $\frac{4}{5}.$