Diketahui:

Misalkan sudut antara kedua vektor adalah $\theta.$

$r$ positif.

Ditanya:

$r=?$

Jawab:

Cosinus sudut antara dua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.

$\cos\theta=\frac{\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}$

Substitusikan nilai-nilai yang sudah diketahui.

$\Leftrightarrow\ \cos\ 60\degree=\frac{\left(1,\ 2,\ -r\right)\cdot\left(r,\ 1,\ -2\right)}{\sqrt{\left(1\right)^2+\left(2\right)^2+\left(-r\right)^2}\cdot\sqrt{\left(r\right)^2+\left(1\right)^2+\left(-2\right)^2}}$

$\Leftrightarrow\ \frac{1}{2}=\frac{\left(1\right)\left(r\right)+\left(2\right)\left(1\right)+\left(-r\right)\left(-2\right)}{\sqrt{1+4+r^2}\cdot\sqrt{r^2+1+4}}$

$\Leftrightarrow\ \frac{1}{2}=\frac{r+2+2r}{\sqrt{5+r^2}\cdot\sqrt{r^2+5}}$

$\Leftrightarrow\ \frac{1}{2}=\frac{3r+2}{r^2+5}$

Kali silang sehingga diperoleh

$\Leftrightarrow\ r^2+5=2\left(3r+2\right)$

$\Leftrightarrow\ r^2+5=6r+4$

$\Leftrightarrow\ r^2-6r+5-4=0$

$\Leftrightarrow\ r^2-6r+1=0$

Dari persamaan kuadrat di atas, dapat ditemukan hasil kali $r$ yang memenuhi dengan menggunakan teorema akar-akar persamaan kuadrat.

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat: $ax^2+bx+c=0$, maka

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1x_2=\frac{c}{a}$

Sehingga dari $r^2-6r+1=0$

$a=1$

$b=-6$

$c=1$

maka,

$r_1r_2=\frac{c}{a}$

$\Leftrightarrow\ r_1r_2=\frac{1}{1}$

$\Leftrightarrow\ r_1r_2=1$

Jadi, hasil kali $r$ yang memenuhi adalah 1.