Diketahui:

Vektor-vektor $\vec{u}=\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k},\ \vec{v}=2\vec{i}-2\vec{j}-2\vec{k},$ dan $\vec{w}=2\vec{i}-3\vec{j}-\vec{k}$.

Vektor $\vec{p}=a\vec{u}-2\vec{v}$ tegak lurus dengan vektor $\vec{w}$

Ditanya:

Nilai $a$ ?

Jawab:

Berdasarkan yang diketahui diperoleh

$\vec{p}=a\vec{u}-2\vec{v}$

$\Leftrightarrow\vec{p}=a\left(\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}\right)-2\left(2\vec{i}-2\vec{j}-2\vec{k}\right)$

$\Leftrightarrow\vec{p}=a\vec{i}-4a\vec{j}+2a\vec{k}-4\vec{i}+4\vec{j}+4\vec{k}$

$\Leftrightarrow\vec{p}=a\vec{i}-4\vec{i}-4a\vec{j}+4\vec{j}+2a\vec{k}+4\vec{k}$

$\Leftrightarrow\vec{p}=\left(a-4\right)\vec{i}+\left(4-4a\right)\vec{j}+\left(2a+4\right)\vec{k}$

Perlu diingat definisi perkalian skalar sembarang vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$ yaitu

$\vec{p}\cdot\vec{q}=\left|\vec{p}\right|\cdot\left|\vec{q}\right|\cos\theta$

dengan $\theta$ adalah sudut yang diapit oleh vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$.

Pada soal diketahui $\vec{p}=\left(a-4\right)\vec{i}+\left(4-4a\right)\vec{j}+\left(2a+4\right)\vec{k}$  tegak lurus dengan $\vec{w}$ artinya sudut yang diapit vektor $\vec{p}$  dan $\vec{w}$  adalah $\theta=90\degree$ dengan $\cos\theta=\cos90\degree=0$ sehingga

$\vec{p}\cdot\vec{w}=\left|\vec{p}\right|\cdot\left|\vec{w}\right|\cos\theta$

$\Leftrightarrow\vec{p}\cdot\vec{w}=\left|\vec{p}\right|\cdot\left|\vec{w}\right|0$

$\Leftrightarrow\vec{p}\cdot\vec{w}=0$

Selain itu, perkalian skalar antara vektor $\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}$ dan $\vec{b}=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}$ juga didefinisikan sebagai

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

sehingga didapat

$\vec{p}\cdot\vec{w}=0$

$\Leftrightarrow\left(\left(a-4\right)\vec{i}+\left(4-4a\right)\vec{j}+\left(2a+4\right)\vec{k}\right)\cdot\left(2\vec{i}-3\vec{j}-\vec{k}\right)=0$

$\Leftrightarrow2\left(a-4\right)+\left(-3\right)\left(4-4a\right)+\left(-1\right)\left(2a+4\right)=0$

$\Leftrightarrow2a-8-12+12a-2a-4=0$

$\Leftrightarrow2a+12a-2a-8-12-4=0$

$\Leftrightarrow12a-24=0$

$\Leftrightarrow12a=24$

$\Leftrightarrow a=\frac{24}{12}$

$\Leftrightarrow a=2$