Contoh Soal

Pembahasan:

Alternatif penyelesaian :

$x^2+10x+25=0$

$D=\ b^2-4ac$

$D=10^2−4.\ 1.\ 25$

$D=100-100$

$D=0$

Karena $$ $D=0$ artinya akar-akarnya kembar/ sama.

Pembahasan:

Alternatif penyelesaian :

$m^2+5m=0$

$m\left(m+5\right)=0$

$m=0$ atau $m+5=0$

$m_1=0$ atau $m_2=-5$

Pembahasan:

Alternatif penyelesaian :

$x^2-25=0$

$\left(x+5\right)\left(x-5\right)=0$

$x+5=0$ atau $x-5=0$

$x_1=-5$ atau $x_2=5$

Pembahasan:

Alternatif penyelesaian :

$x^2-3x-10=0$

Kita bisa menggunakan pemfaktoran :

Ingat :

$ax^2\ +\ bx\ +\ c\ =\ 0$

$\left(x-x1\right)\left(x-x2\right)=0$

$x1+x2=\ b$

$x1\ X\ x2=\ a\ Xc$

Maka :

$x1\ +\ x2=\ -3$

$$ $$$x1\ X\ x2=-10$

Bilangan yang memenuhi itu semua adalah -5 dan 2

sehingga :

$\left(x-5\right)\left(x+2\right)=0$

$\left(x-5\right)=0$ atau $\left(x+2\right)=0$

$x-5=0$ atau $x+2=0$

$x=5$ atau $x=-2$

Pembahasan:

Misalkan diketahui suatu grafik fungsi kuadrat mempunyai titik puncak (x_p,y_p) dan melalui titik (x₁,y₁), maka langkah-langkah untuk menentukan fungsi kuadratnya adalah

1. Cari nilai a dengan substitusi nilai x_p, y_p, x₁, dan y₁ ke fungsi: y₁ = a(x₁ $-$ x_p)² + y_p.
2. Substitusi nilai a, x_p, dan y_p ke fungsi: y = a(x $-$ x_p)² + y_p.

Diketahui x_p = 0, y_p = $-$4, x₁ = $-$1, dan y₁ = $-$3.

Cari nilai a dengan substitusi nilai x_p, y_p, x₁, dan y₁ ke fungsi:

y₁ = a(x₁ $-$ x_p)² + y_p

$\Leftrightarrow$ $-$3 = a($-$1 $-$ 0)² + ($-$4)

$\Leftrightarrow$ $-$3 = a($-$1)² $-$ 4

$\Leftrightarrow$ $-$3 = a $-$ 4

$\Leftrightarrow$ a = 1

Substitusi nilai a, x_p, dan y_p ke fungsi:

y = a(x$-$ x_p)² + y_p

$\Leftrightarrow$ y = 1(x $-$ 0)² + ($-$4)

$\Leftrightarrow$ y = 1(x)² $-$ 4

$\Leftrightarrow$ y = x² $-$ 4

Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f(x) = y = x² $-$ 4.

Cara mengecek kebenaran:

• Substitusi setiap nilai x dari kedua titik yang diketahui ke fungsi.
• Periksa apakah nilai y yang diperoleh sama dengan yang diketahui.

Periksa fungsi kuadrat f(x) = y = x² $-$ 4.

x = 0 $\Rightarrow$ y = 0² $-$ 4 = $-$4

x = $-$1 $\Rightarrow$ y = ($-$1)² $-$ 4 = $-$3

Diperoleh kedua titiknya sesuai sehingga benar fungsi kuadratnya adalah f(x) = x² $-$ 4.

Pembahasan:

Langkah-langkah menentukan fungsi kuadrat jika diketahui tiga titik yang dilaluinya:

1. Misalkan fungsinya adalah y = ax² + bx + c. Substitusikan nilai x dan y ketiga titik yang diketahui ke fungsi.
2. Gunakan metode eliminasi dan substitusi pada ketiga fungsi untuk memperoleh nilai a, b, dan c.

Misalkan fungsinya adalah y = ax² + bx + c. Substitusikan nilai x dan y ketiga titik yang diketahui ke fungsi.

(0,3) $\Rightarrow$ 3 = a(0)² + b(0) + c $\Leftrightarrow$ c = 3

($-$2,7) $\Rightarrow$ 7 = a($-$2)² + b($-$2) + c $\Leftrightarrow$ 7 = 4a $-$ 2b + c ... (i)

(1,$-$2) $\Rightarrow$ $-$2 = a(1)² + b(1) + c $\Leftrightarrow$ $-$2 = a + b + c ... (ii)

Gunakan metode eliminasi dan substitusi pada ketiga fungsi untuk memperoleh nilai a, b, dan c.

Substitusi c = 3 ke persamaan (i) dan (ii)

(i) 7 = 4a $-$ 2b + 3

$\Leftrightarrow$ 7 $-$ 3 = 4a $-$ 2b

$\Leftrightarrow$ 4 = 4a $-$ 2b | kedua ruas dibagi 2

$\Leftrightarrow$ 2a $-$ b = 2

(ii) $-$2 = a + b + 3 $\Leftrightarrow$ a + b = $-$5

Eliminasi b pada persamaan (i) dengan persamaan (ii)

2a $-$ b = 2

a + b = $-$5 +

3a = $-$3 $\Leftrightarrow$ a = $-$1

Substitusi a = $-$1 ke persamaan (ii)

a = $-$1 $\Rightarrow$ $-$1 + b = $-$5 $\Leftrightarrow$ b = $-$4

Diperoleh a = $-$1, b = $-$4, dan c = 3. Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = $-$x² $-$ 4x + 3.

Cara mengecek kebenaran:

• Substitusi nilai x dari ketiga titik yang diketahui ke fungsi.
• Periksa apakah nilai y yang diperoleh sama dengan nilai y yang diketahui.

Misalnya, akan diperiksa fungsi kuadrat y = $-$x² $-$ 4x + 3.

x = 0 $\Rightarrow$ y = $-$0² $-$ 4(0) + 3 = 3

x = $-$2 $\Rightarrow$ y = $-$($-$2)² $-$ 4($-$2) + 3 = 7

x = 1 $\Rightarrow$ y = $-$1² $-$ 4(1) + 3 = $-$2

Diperoleh ketiga titiknya sesuai sehingga benar fungsi kuadratnya adalah y = $-$x² $-$ 4x + 3.

Pembahasan:

Langkah-langkah menentukan fungsi kuadrat jika diketahui tiga titik yang dilaluinya:

1. Misalkan fungsinya adalah f(x) = y = ax² + bx + c. Substitusikan nilai x dan y ketiga titik yang diketahui ke fungsi.
2. Gunakan metode eliminasi dan substitusi pada ketiga fungsi untuk memperoleh nilai a, b, dan c.

Misalkan fungsinya adalah f(x) = y = ax² + bx + c. Substitusikan nilai x dan y ketiga titik yang diketahui ke fungsi.

(0,$-$2) $\Rightarrow$ $-$2 = a(0)² + b(0) + c $\Leftrightarrow$ $-$2 = c

(3,$-$2) $\Rightarrow$ $-$2 = a(3)² + b(3) + c $\Leftrightarrow$ $-$2 = 9a + 3b + c ... (i)

(4,$-$6) $\Rightarrow$ $-$6 = a(4)² + b(4) + c $\Leftrightarrow$ $-$6 = 16a + 4b + c ... (ii)

Gunakan metode eliminasi dan substitusi pada ketiga fungsi untuk memperoleh nilai a, b, dan c.

Substitusi c = $-$2 ke persamaan (i) dan (ii)

(i) $-$2 = 9a + 3b $-$ 2

$\Leftrightarrow$ $-$2 + 2 = 9a + 3b

$\Leftrightarrow$ 0 = 9a + 3b | kedua ruas dibagi 3

$\Leftrightarrow$ 3a + b = 0 ... (iii)

(ii) $-$6 = 16a + 4b $-$ 2

$\Leftrightarrow$ $-$6 + 2 = 16a + 4b

$\Leftrightarrow$ $-$4 = 16a + 4b | kedua ruas dibagi 4

$\Leftrightarrow$ 4a + b = $-$1 ... (iv)

Eliminasi b pada persamaan (iii) dengan persamaan (iv)

3a + b = 0

4a + b = $-$1 $-$

$-$a = 1 $\Leftrightarrow$ a = $-$1

Substitusi a = $-$1 ke persamaan (iii)

a = $-$1 $\Rightarrow$ 3($-$1) + b = 0 $\Leftrightarrow$ b = 3

Diperoleh a = $-$1, b = 3, dan c = $-$2. Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f(x) = y = $-$x² + 3x $-$ 2.

Cara mengecek kebenaran:

• Substitusi nilai x dari ketiga titik yang diketahui ke fungsi.
• Periksa apakah nilai y yang diperoleh sama dengan nilai y yang diketahui.

Periksa fungsi kuadrat f(x) = y = $-$x² + 3x $-$ 2.

x = 2 $\Rightarrow$ y = $-$2² + 3(2) $-$ 2 = 0

x = 3 $\Rightarrow$ y = $-$3² + 3(3) $-$ 2 = $-$2

x = 4 $\Rightarrow$ y = $-$4² + 3(4) $-$ 2 = $-$6

Diperoleh ketiga titiknya sesuai sehingga benar fungsi kuadratnya adalah f(x) = $-$x² + 3x $-$ 2.

Pembahasan:

Alternatif Penyelesaian :

$$ $4x^2-10x+p=0$

$D=68$

$b^2−4ac=68$

$\left(-10\right)^2-4.4.p=68$

$100−16p=68$

$16p=100-68$ $$

$16p=32$

$p=\frac{32}{16}$

$p=2$

Pembahasan:

Diketahui:

Grafik di atas melalui tiga titik, yaitu $\left(-3,5\right)$, $\left(-1,3\right)$, dan $\left(0,5\right)$

Ditanya:

Persamaan kuadrat yang sesuai?

Dijawab:

Langkah-langkah untuk menentukan persamaan kuadrat jika diketahui tiga titik yang dilaluinya adalah sebagai berikut.

1. Substitusikan nilai $\left(x,y\right)$ ke bentuk umum persamaan kuadrat, yaitu $y=f\left(x\right)=ax^2+bx+c$
2. Gunakan metode eliminasi dan substitusi untuk memperoleh nilai $a,\ b,$ dan $c.$
3. Substitusi nilai $a,b,$ dan $c$ ke bentuk umum persamaan kuadrat

Mensubstitusikan nilai $\left(x,y\right)$ ke bentuk umum persamaan kuadrat

$y=f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

Untuk $\left(-3,5\right)$ diperoleh $x=-3$ dan $y=f\left(-3\right)=5$, sehingga

$5=a\left(-3\right)^2+b\left(-3\right)+c$

$\Leftrightarrow5=a\left(9\right)+b\left(-3\right)+c$

$\Leftrightarrow5=9a-3b+c$ (persamaan 1)

Untuk $\left(-1,3\right)$ diperoleh $x=-1$ dan $y=f\left(-1\right)=3$, sehingga

$3=a\left(-1\right)^2+b\left(-1\right)+c$

$\Leftrightarrow3=a\left(1\right)+b\left(-1\right)+c$

$\Leftrightarrow3=a-b+c$ (persamaan 2)

Untuk $\left(0,5\right)$ diperoleh $x=0$ dan $y=f\left(0\right)=5$, sehingga

$5=a\left(0\right)^2+b\left(0\right)+c$

$\Leftrightarrow5=0+0+c$

$\Leftrightarrow c=5$

Menemukan nilai a, b, dan c

Nilai $c$ sudah ditemukan, yaitu $c=5$

Maka kita dapat menyubstitusikan $c=5$ ke persamaan 1 dan 2, sehingga diperoleh

$5=9a-3b+c$

$\Leftrightarrow5=9a-3b+5$

$\Leftrightarrow9a-3b=0$ (persamaan 3)

$3=a-b+c$

$\Leftrightarrow3=a-b+5$

$\Leftrightarrow a-b=-2$ (persamaan 4)

Eliminasikan persamaan 3 dan 4

Substitusikan $a=1$ ke persamaan 4

$a-b=-2$

$\Leftrightarrow1-b=-2$

$\Leftrightarrow-b=-2-1$

$\Leftrightarrow-b=-3$

$\Leftrightarrow b=3$

Substitusikan nilai $a,b,$ dan $c$ ke bentuk umum persamaan kuadrat

Ditemukan nilai $a=1,\ b=3,$ dan $c=5$, maka persamaan kuadratnya adalah

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(1\right)x^2+\left(3\right)x+5$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^2+3x+5$

Jadi, persamaan kuadrat yang sesuai adalah $f\left(x\right)=x^2+3x+5.$

Pembahasan:

Diketahui:

Grafik di atas melalui tiga titik, yaitu $\left(-1,6\right)$, $\left(0,3\right)$, dan $\left(2,3\right)$

Ditanya:

Persamaan kuadrat yang sesuai?

Dijawab:

Langkah-langkah untuk menentukan persamaan kuadrat jika diketahui tiga titik yang dilaluinya adalah sebagai berikut.

1. Substitusikan nilai $\left(x,y\right)$ ke bentuk umum persamaan kuadrat, yaitu $y=f\left(x\right)=ax^2+bx+c$
2. Gunakan metode eliminasi dan substitusi untuk memperoleh nilai $a,\ b,$ dan $c.$
3. Substitusi nilai $a,b,$ dan $c$ ke bentuk umum persamaan kuadrat

Mensubstitusikan nilai $\left(x,y\right)$ ke bentuk umum persamaan kuadrat

$y=f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

Untuk $\left(-1,6\right)$ diperoleh $x=-1$ dan $y=f\left(-1\right)=6$, sehingga

$6=a\left(-1\right)^2+b\left(-1\right)+c$

$\Leftrightarrow6=a\left(1\right)+b\left(-1\right)+c$

$\Leftrightarrow6=a-b+c$ (persamaan 1)

Untuk $\left(0,3\right)$ diperoleh $x=0$ dan $y=f\left(0\right)=3$, sehingga

$3=a\left(0\right)^2+b\left(0\right)+c$

$\Leftrightarrow3=0+0+c$

$\Leftrightarrow c=3$

Untuk $\left(2,3\right)$ diperoleh $x=2$ dan $y=f\left(2\right)=3$, sehingga

$3=a\left(2\right)^2+b\left(2\right)+c$

$\Leftrightarrow3=a\left(4\right)+b\left(2\right)+c$

$\Leftrightarrow3=4a+2b+c$ (persamaan 2)

Menemukan nilai a, b, dan c

Nilai $c$ sudah ditemukan, yaitu $c=3$

Maka kita dapat menyubstitusikan $c=3$ ke persamaan 1 dan 2, sehingga diperoleh

$6=a-b+c$

$\Leftrightarrow6=a-b+3$

$\Leftrightarrow a-b=3$ (persamaan 3)

$3=4a+2b+c$

$\Leftrightarrow3=4a+2b+3$

$\Leftrightarrow4a+2b=0$ (persamaan 4)

Eliminasikan persamaan 3 dan 4

Substitusikan $b=-2$ ke persamaan 3

$a-b=3$

$\Leftrightarrow a-\left(-2\right)=3$

$\Leftrightarrow a+2=3$

$\Leftrightarrow a=3-2$

$\Leftrightarrow a=1$

Substitusikan nilai $a,b,$ dan $c$ ke bentuk umum persamaan kuadrat

Ditemukan nilai $a=1,\ b=-2,$ dan $c=3$, maka persamaan kuadratnya adalah

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(1\right)x^2+\left(-2\right)x+3$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^2-2x+3$

Jadi, persamaan kuadrat yang sesuai adalah $f\left(x\right)=x^2-2x+3.$