Diketahui:

Sudut kemiringan bukit $\alpha$ = 30^o

Tinggi bukit h = 20 m

Jumlah putaran roda $\theta$ = 130 putaran

Tetapan gravitasi g = 9,8 m/s²

Ditanya:

Kecepatan sudut $\omega$ = ?

Jawab:

1 putaran = 2$\pi$ rad

maka

Sudut putaran $\theta$ = 130 putaran = $\left(130\right)\left(2\pi\right)$ rad = 260 rad

1) Mencari kecepatan linear

Energi mekanik merupakan penjumlahan dari Energi Kinetik dan Energi Potensial.

$EM=EK+EP$

Energi kinetik adalah energi yang dimiliki suatu benda karena kecepatannya.

$EK\ =\ \frac{1}{2}mv^2$

Energi potensial adalah energi yang dipengaruhi oleh posisi atau kedudukannya.

$EP\ =mgh$

Berdasarkan hukum kekelan energi mekanik, posisi awal benda dan posisi akhir dari benda memiliki total energi yang sama.

$EM=EM'$

$$$EM$ adalah energi mekanik pada posisi awal dan $EM'$ adalah energi mekanik pada posisi akhir

Sebelum bergerak, sepeda dalam keadaan diam, sehingga $v=0$ yang berarti $EK=0$. Pada saat tiba di bawah, ketinggian bukit $h=0$ yang artinya $EP=0$.

$EM=EM'$

$EK+EP=EK'+EP'$

$0+EP​=EK′​+0$

$EP​=EK′​$

$mgh=\frac{1}{2}mv^2$

$gh=\frac{1}{2}v^2$

$\left(9,8\right)\left(20\right)=\frac{1}{2}\left(v\right)^2$

$\left(9,8\right)\left(40\right)=\left(v\right)^2$

$v^2=392$

$v^{ }=\sqrt{392}$

$v=19,8\$m/s

2) Mencari panjang lintasan

Dengan menggunakan prinsip Phytagoras, maka:

$\sin\ 30$^o $=\frac{h}{s}$

$\frac{1}{2}=\frac{20}{s}$

$s=40$ m

3) Mencari jari-jari

Nilai sudut $\theta$ dalam radian merupakan perbandingan antara jarak linier s dan jari-jari $r$, $\theta=\frac{s}{r}$

$s=\theta\ r\$

$40=260\ r$

$r=\frac{40}{260}$

$r=0,15$ m

4) Mencari kecepatan sudut

Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$.

$\omega=\frac{v}{r}$

$\omega=\frac{19,8}{0,15}$

$\omega=132$ rad/s

Jadi, kecepatan sudut dari sepeda setelah berputar sebanyak 130 kali adalah 132 rad/s.

Diketahui:

Banyaknya putaran n = 50

Waktu t = 1 menit = 60 s

Massa sepeda m_s = 12 kg

Massa Faisal m_f = 60 kg

Diameter gir d = 24 cm = 0,24 m

Jari-jari gir r = 0,12 m

Ditanya:

Energi E = ?

Jawab:

1) Mencari $\omega$

Kecepatan sudut adalah banyaknya putaran tiap satuan waktu ($\omega=\frac{\theta}{t}$). Jika meninjau hubungan kecepatan sudut dengan frekuensi, maka kecepatan sudut di sini merupakan hasil bagi sudut pusat yang ditempuh partikel dengan waktu tempuhnya ($\omega=\frac{2\pi}{T}$). Karena $\frac{1}{T}=f$, maka $\omega=2\pi f$. Frekuensi sendiri merupakan banyaknya putaran yang terjadi tiap satuan waktu, $f=\frac{n}{t}$.

Penyelesaiannya menjadi:

$\omega=2\pi f$

$\omega=2\pi\left(\frac{n}{t}\right)$

$\omega=2\pi\left(\frac{50}{60}\right)$

$\omega=\frac{5}{3}\pi$

2) Mencari E

Kasus pada soal meninjau sebuah benda yang bergerak, sehingga energi yang dicari adalah energi kinetik, di mana massanya merupakan gabungan massa Faisal dan sepedanya.

$m=m_f+m_s=60+12\ =72\ \text{}$kg

$E=\frac{1}{2}mv^2$

$E=\frac{1}{2}m\left(\omega r\right)^2$

$E=\frac{1}{2}\left(72\right)\left(\left(\frac{5}{3}\pi\right)\left(0,12\right)\right)^2$

$E=\frac{1}{2}\left(72\right)\left(0,2\pi\right)^2$

$E=\frac{1}{2}\left(72\right)\left(0,04\pi^2\right)$

$E=1,44\pi^2$ J

Jadi, energi yang dihasilkan saat 1 menit mengayuh sepeda adalah $1,44\pi^2$ J.

Diketahui:

Diameter motor d_m = 50 cm = 0,5 m

Jari-jari motor r_m = 0,25 m

Diameter becak d_b = 80 cm = 0,8 m

Jari-jari becak r_b = 0,4 m

Waktu motor t_m = t_b =t = 1 menit

Banyaknya putaran roda motor n_m = 5

Banyaknya putaran roda becak n_b = 3

Ditanya:

Perbandingan kecepatan $v_m\ :\ v_b$ = ?

Jawab:

Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$. Kecepatan sudut ($\omega$) adalah hasil bagi sudut pusat yang ditempuh partikel dengan waktu tempuhnya, $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Karena $\frac{1}{T}=f$, maka persamaannya menjadi $\omega=2\pi f$, di mana frekuensi adalah banyaknya putaran setiap waktu, $f=\frac{n}{t}$.

Menentukan perbandingan $v_m:\ v_b$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{\omega_m r_m}{\omega_b r_b}$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{2\pi\ f_m\ r_m}{2\pi\ f_b\ r_b}$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{f_m\ r_m}{\ f_b\ r_b}\$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{\left(\frac{n_m}{t}\right)\ r_m}{\ \left(\frac{n_b}{t}\right)\ r_b}\$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{n_m\ r_m}{\ n_b\ r_b}\$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{\left(5\right)\left(0,25\right)}{\ \left(3\right)\left(0,4\right)}\$

$\frac{v_m}{v_b}=\frac{1,25}{\ 1,2}\ =\frac{125}{120}=\frac{25}{24}$

25 : 24

Jadi, perbandingan antara $v_{m\ }:\ v_b$ adalah 25 : 24.

Diketahui:

Tinggi h = 150 cm = 1,5 m

Sudut $\theta$ = 60^o

Kecepatan sudut $\omega$ = 30 rpm

Panjang tali $l$ = 10 cm = 0,1 m

Ditanya:

Kecepatan bandul tiba di tanah $v$ = ?

Jawab:

Kecepatan sudut $\omega$ = 30 rpm = 30 rotasi/menit

1 putaran = 2$\pi$ rad

1 menit = 60 s

$\omega$ = $\left(30\right)\left(\frac{2\pi}{60}\right)=\pi$ rad/s

Perhatikan gambar di bawah ini!

Kecepatan linear saat memutar bandul adalah kecepatan awal saat bandul akhirnya putus dan jatuh ke tanah. sehingga

$v_{\text{putaran}}=v_0$

Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$.

1) Menentukan $v_{\text{putaran}}$

$v_{\text{putaran}}=\omega r$ ($r\$diambil dari panjang tali)

$v_{\text{putaran}}=\pi\left(0,1\right)$

$v_{\text{putaran}}=0,1\pi$ m/s

$v_{\text{putaran}}=v_0=0,1\pi$ m/s

Bandul mengalami gerak parabola, sehingga kecepatan yang terbentuk adalah

$v_x\$dan $v_y\$

2) Menentukan $v_x$

$v_x=v_{0x}$

$v_x=v_0cos\theta$

$v_x=(0,1\pi)(\cos60)$

$v_x=(0,1\pi)(0,5)$

$v_x=\left(0,1\right)\left(3,14\right)\left(0,5\right)$

$v_x=0,157$ m/s $\approx0,16$ m/s

3) Menentukan $v_y\ \$

$v_y^2\ =v_{0y}^2+2g\ h$

$v_y^2\ =\left(v_0\sin\ 60\right)^2+2gh\$

$v_y^2\ =\left(0,1\pi\left(0,8\right)\right)^2+2\left(10\right)\left(1,5\right)$

$v_y^2\ =\left(0,08\pi\right)^2+30$

$v_y^2\ =\left(0,0064\left(3,14\right)^2\right)+30$

$v_y^2\ =0,063+30$

$v_y^2\ =30,063$

$v_y\ =\sqrt{30,063}=5,48$ m/s $\approx5,5$ m/s

4) Menentukan $v$ dengan rumus resultan seperti persamaan di bawah ini.

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

$v=\sqrt{0,16^2+5,5^2}$

$v=\sqrt{0,0256+30,25}$

$v=\sqrt{30,28}=5,5$ m/s

Jadi, kecepatan bandul saat tiba di tanah adalah 5,5 m/s.

Diketahui:

Kecepatan sudut $\omega=\omega$

Koefisien restitusi $e=0,3$

Jari-jari r = r

Ditanya:

Kecepatan sudut setelah tumbukan $\omega'$ = ?

Jawab:

Cakram mengalami tumbukan lenting sebagian karena nilai koefisien restitusi e bernilai 0,3 dan hanya cakram yang bergerak baik sebelum maupun setelah tumbukan. Koefisein restitusi dapat dirumuskan dengan:

$e=-\frac{\left(v_2'-v_1'\right)}{\left(v_2-v_1\right)}$

$v_1$ dan $v_1'$ adalah kecepatan cakram sebelum dan sesudah tumbukan, kemudian $v_2$ dan $v_2'$ adalah kecepatan tembok sebelum dan sesudah tumbukan. Tembok tidak bergerak sehingga kecepatannya adalah 0.

Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$.

$e=-\frac{\left(v_2'-v_1'\right)}{\left(v_2-v_1\right)}$

$0,3=-\frac{\left(0-\omega'\ r\right)}{\left(0-\omega\ r\right)}$

$0,3=-\frac{\omega'\ r}{\omega\ r}$

$-0,3=\frac{\omega'}{\omega\ }\$

$-0,3\ \omega=\omega'\ \$(tanda negatif menunjukkan arah berlawanan)

Jadi, kecepatan sudut setelah menabrak tembok adalah 0,3$\omega\$rad/s berlawanan arah.

Diketahui:

Massa sepeda m_s = 12 kg

Massa Andi m_A = 50 kg

Waktu t = 1 jam = 3.600 s

Diameter d = 30 cm

Daya P = 500 watt

Jari-jari r = 15 cm = $15\times10^{-2}$

Ditanya:

Kecepatan sudut $\omega$ = ?

Jawab:

Daya adalah besarnya energi yang digunakan tiap satu satuan waktu.

$P=\frac{E}{t}$

$500=\frac{E}{3.600}$

$E=\left(500\right)\left(3.600\right)$

$E=1,8\times10^6$ J

Kerena selama dikayuh sepeda bergerak, maka energi yang digunakan adalah energi kinertik. Energi kinetik adalah energi yang dimiliki suatu benda karena kecepatannya,

$E=\frac{1}{2}mv^2$

Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$.

Penyelesaiannya menjadi:

$E=\frac{1}{2}m\ v^2$

$E=\frac{1}{2}m\left(\omega r\right)^2$, dengan massa total $m=m_A+m_s=50\ +\ 12=62$ kg

$1,8\times10^6=\frac{1}{2}\left(62\right)\left(\left(\omega\right)\left(15\times10^{-2}\right)\right)^2$

$1,8\times10^6=\frac{1}{2}\left(62\right)\left(\omega\right)^2\left(225\times10^{-4}\right)$

$1,8\times10^6=\left(31\right)\left(\omega\right)^2\left(225\times10^{-4}\right)$

$\frac{1,8\times10^6}{\left(31\right)\left(225\times10^{-4}\right)}=\left(\omega\right)^2$

$\frac{1,8\times10^6}{6.975\times10^{-4}}=\left(\omega\right)^2$

$\frac{1,8\times10^6\times10^4}{6.975}=\left(\omega\right)^2$

$0,000258\times10^{10}=\left(\omega\right)^2$

$2,58\times10^6=\left(\omega\right)^2$

$\sqrt{2,58\times10^6}=\omega$

$1,6\times10^3=\omega$

$1.600=\omega$

Jadi kecepatan sudutnya adalah 1.600 rad/s.

Diketahui:

$$Waktu $t\ =\ 2\$ menit = 120 s

Ditanya:

Kecepatan sudut $\omega$ = ?

Jawab:

Satu lingkaran penuh pada stopwatch ditempuh dalam waktu 1 menit atau 60 detik, artinya

1 putaran = 60 detik. Waktu yang diperlukan oleh partikel untuk menempuh satu lingkaran penuh disebut sebagai periode.

Jika meninjau hubungan kecepatan sudut dengan periode, maka kecepatan sudut di sini merupakan hasil bagi sudut pusat yang ditempuh partikel dengan waktu tempuhnya.

$\omega=\frac{2\pi}{60}=\frac{\pi}{30}$ rad/s

Jadi, kecepatan sudut jarum panjang stopwatch adalah $\frac{\pi}{30}$ rad/s.

Diketahui:

Jari-jari A $r_{\text{A}}=2$ cm $=2\times10^{-2}$ m

Jari-jari B $r_{\text{B}}=6$ cm $=6\times10^{-2}$ m

Jari-jari C $r_{\text{C}}=3$ cm $=3\times10^{-2}$ m

Jari-jari D $r_{\text{D}}=4$ cm $=4\times10^{-2}$ m

Kecepatan roda A $v_{\text{A}}=6$ m/s

Ditanya:

Kecepatan sudut roda D $\omega_{\text{D}}=?$

Jawab:

Pada kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$. Jika ditulis dalam bentuk matematis, $v=\omega r$, sehingga $\omega=\frac{v}{r}$.

1) Hubungan roda A dengan roda B

Pada gambar, roda A dan roda B dihubungkan dengan tali, sehingga kecepatan linearnya sama,

$v_{\text{A}}=v_{\text{B}}$

$v_{\text{B}}=6$ m/s

2) Hubungan roda B dengan roda C

Selanjutnya, roda B dengan roda C adalah sepusat, sehingga kecepatan sudutnya sama,

$\omega_{\text{B}}=\omega_{\text{C}}$  

$\frac{v_{\text{B}}}{r_{\text{B}}}=\omega_{\text{C}}$

$\frac{6}{6\times10^{-2}}=\omega_{\text{C}}$

$\omega_{\text{C}}=10^2=100$ rad/s

3) Hubungan roda C dengan roda D

Roda C dengan roda D dihubungkan dengan tali, sehingga kecepatan linearnya sama,

$v_{\text{C}}=v_{\text{D}}$

$\omega_{\text{C}\ }r_{\text{C}}=\omega_{\text{D}\ }r_{\text{D}}$

$(100)(3\times10^{-2})\ =\ (\omega_{\text{D}})(4\times10^{-2})$

$3=\ \omega_{\text{D}}(0,04)$

$\omega_{\text{D}}=\frac{3}{0,04}$

$=\frac{300}{4}=75$ rad/s

Jadi, kecepatan sudut roda D adalah 75 rad/s.

Diketahui:

Luas A = 4$\pi$ cm²

Waktu t = 2 menit = 120 s

Banyaknya putaran n = 70 putaran

Ditanya:

Kecepatan sudut $\omega=?$

Jawab:

Alas gelas berbentuk lingkaran, sehingga untuk mencari jari-jari digunakan persamaan

$A=\pi r^2$

$4\pi=\pi r^2$ \

$r^2=4$

$r=2$ cm = 0,02 m²

Kecepatan sudut ($\omega$) adalah hasil bagi sudut pusat yang ditempuh partikel dengan waktu tempuhnya.

$\omega=\frac{2\pi}{T}$, karena $\frac{1}{T}=f$, maka $\omega=2\pi f$, di mana frekuensi adalah banyaknya putaran tiap satuan waktu, $f=\frac{n}{t}$.

Penyelesaiannya menjadi:

$\omega=2\pi f$

$\omega=2\pi\left(\frac{n}{t}\right)$

$\omega=2\pi\left(\frac{70}{120}\right)$

$\omega=1,166\pi\$rad/s

Jadi, percepatan sentripetal saat nurul mengaduk teh adalah $1,166\pi\$rad/s.

Diketahui:

Sudut awal $\theta_0$ = 5 rad

Waktu t = 5 s

Kecepatan $v$ = 5 m/s

Jari-jari r = 2 cm = 0,02 m

Ditanya:

Posisi akhir $\theta_1=$ ?

Jawab:

Sudut akhir $\theta_1$ berarti hasil penjumlahan besar sudut awal dengan besar sudut yang ditempuh benda setelah bergerak dengan kecepatan sudut $\omega$ dalam waktu t. Untuk kecepatan sudut $\omega$ tertentu, kecepatan linear $v$ sebanding dengan jarak titik dari pusat lingkarannya $r$, $v=\omega r$. Sehingga, $\omega=\frac{v}{r}$.

$\theta_1=\theta_0+\omega t$

$=\theta_0+\frac{v}{r}t$  

$=5+(\frac{5}{0,02})(\ 5)$

$=5+\frac{2.500}{2}$

$=5+1.250$

$=1.255$ rad

Jadi, posisi akhir benda adalah 1.255 rad.