Contoh Soal

Pembahasan:

Soal ini dapat diselesaikan menggunakan permutasi semua unsur berbeda.

Jika terdapat n unsur berbeda yang akan disusun, maka banyaknya cara menyusun n unsur tersebut adalah

$P\ =\ n!$

Karena semua unsur C, I, T, A berbeda, maka banyaknya susunan dari huruf-huruf C, I, T, A adalah

$P\ =\ 4!\ =\ 24$

Pembahasan:

Permutasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang berbeda, dengan $r\ \le n$ adalah $P_r^n$ yang didefinisikan sebagai:

$P_r^n=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$

Notasi $n!$ dibaca $n$ faktorial. Untuk setiap bilangan asli $$$n$ , didefinisikan:

$n!=\left(n\right)\times\left(n-1\right)\times\left(n-2\right)\times\ldots\ \times3\times2\ \times1$

dengan $1!=1$ dan $0!\ =\ 1$.

$P_3^5=\frac{5!}{\left(5-3\right)!}$

$=\frac{5!}{2!}$

$=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times1}$

$=5\times4\times3$

$=60$

Jadi, nilai dari $P_3^5$ adalah 60.

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, dapat digunakan aturan perkalian. Aturan perkalian disebut juga aturan pengisian tempat (filling slot). Misalkan terdapat r tempat tersedia dengan ketentuan:

a. Terdapat $n_1$ cara mengisi tempat pertama,

b. Terdapat $n_2$ cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi,

c. Terdapat $n_3$ cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat kedua terisi,

begitu seterusnya hingga terdapat $n_r$ cara untuk mengisi tempat ke-r setelah tempat pertama, kedua, ..., ke-(r-1) terisi. Banyaknya cara mengisi r tempat tersebut adalah

$n_1\times n_2\times\ldots n_{r-1}\times n_r$

Banyaknya huruf K, E, J, A, R adalah 5.

Perhatikan bahwa banyaknya cara memilih huruf pertama ada 3 yaitu K, J, atau R (konsonan).

Selanjutnya karena K, J atau R sudah dipakai sebagai huruf pertama, maka banyaknya cara memilih huruf kedua ada 4 cara.

Banyaknya cara memilih huruf ketiga ada 3 cara, sebab 2 huruf sudah terpakai untuk huruf pertama dan huruf kedua.

Selanjutnya banyaknya cara memilih huruf keempat ada 2 cara, sebab 3 huruf telah dipakai untuk menempati tempat pertama, kedua, dan ketiga.

Dan yang terakhir, banyaknya cara untuk memilih huruf kelima ada 1 cara sebab 4 huruf telah dipakai untuk menempati huruf pertama, kedua, ketiga, dan keempat.

Jadi banyaknya cara menyusun huruf tersebut ada

$3\ \times4\ \times3\ \times2\ \times1\ =\ 72$ cara

Pembahasan:

Kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n\$unsur berbeda yang tersedia adalah suatu pilihan dari $r$ unsur tanpa memperhatikan urutannya $\left(r\le n\right)$, dan dilambangkan $C_r^n$.

Banyaknya kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia ditentukan dengan aturan

$C_r^n=\frac{n!}{\left(n-r\right)!\ \cdot\ r!}$

Sehingga didapatkan:

$\frac{1}{4}\cdot\ C_2^n=n-1$

$\Leftrightarrow\ \frac{1}{4}\cdot\frac{n!}{\left(n-2\right)!\ \cdot\ 2!}=n-1$

$\Leftrightarrow\ \frac{1}{4}\cdot\frac{n\times\left(n-1\right)\times\left(n-2\right)!}{\left(n-2\right)!\ \cdot\ 2\times1}=n-1$

$\Leftrightarrow\ \frac{1}{4}\cdot\frac{n\times\left(n-1\right)}{2}=n-1$

$\Leftrightarrow\ \frac{n\times\left(n-1\right)}{8}=n-1$, kalikan kedua ruas dengan $8$ didapatkan:

$\Leftrightarrow\ n\times\left(n-1\right)=8\left(n-1\right)$

$\Leftrightarrow n^2-n=8n-8$

$\Leftrightarrow n^2-n-8n+8=0$

$\Leftrightarrow n^2-9n+8=0$

$\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(n-8\right)=0$

$\Leftrightarrow n=1$ atau $n=8$

Karena $r\le n$ maka diambil nilai $n=8$.

Jadi, nilai $n$ pada persamaan kombinasi $\frac{1}{4}\cdot\ C_2^n=n-1$ adalah 8.

Pembahasan:

Diketahui:

Al akan bepergian dari kota Yogyakarta ke kota Semarang melalui kota Magelang

Kota Yogyakarta ke kota Magelang terdapat lima jalur

Kota Magelang ke kota Semarang terdapat enam jalur

Ditanya:

Banyak cara yang dapat ditempuh untuk bepergian dari kota Yogyakarta ke kota Semarang$=?$

Jawab:

Untuk menyelesaikan soal ini, dapat digunakan aturan perkalian. Jika terdapat $n$ buah tempat tersedia dengan ketentuan:

a. $k_1$ adalah banyak cara berbeda untuk mengisi tempat pertama,

b. $k_2$ adalah banyak cara berbeda untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi,

c. $k_2$ adalah banyak cara berbeda untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat kedua terisi,

dan seterusnya hingga terdapat $k_n$ adalah banyak cara berbeda untuk mengisi tempat ke-$n$ setelah tempat ke-$\left(n-1\right)$ terisi.

Sehingga banyaknya cara untuk mengisi $n$ tempat yang tersedia adalah:

$k_1\times k_2\times\cdots\times k_n$

Untuk kasus soal di atas didapatkan:

Banyak cara bepergian dari kota Yogyakarta ke kota Magelang ada $5$ cara

Banyak cara bepergian dari kota Magelang ke kota Semarang ada $6$ cara

Maka banyak cara bepergian dari kota Yogyakarta ke kota Semarang ada

$5\times6=30$ cara.

Jadi, banyak cara yang dapat ditempuh untuk bepergian dari kota Yogyakarta ke kota Semarang adalah 30 cara.

Pembahasan:

Soal ini dapat diselesaikan menggunakan kombinasi.

Suatu kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n\$unsur berbeda adalah suatu pilihan dari $r$ unsur tanpa memperhatikan urutannya.

Kata kunci untuk membedakan antara kombinasi dengan permutasi adalah memperhatikan atau tidak memperhatikan urutannya.

Banyaknya kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur berbeda dengan $r\ \le n$ adalah

$C\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!}$

Karena dalam membentuk panitia ini urutan tidak diperhatikan, maka kita selesaikan soal ini menggunakan kombinasi.

Karena sedikitnya 5 orang panitia tersebut terdiri dari 3 siswa, maka ada tiga kasus dalam soal ini yaitu,

Pertama, panitia terdiri dari 3 siswa dan 2 siswi.

Banyaknya cara memilih 3 siswa dari 8 siswa adalah $C\left(8,3\right)=\frac{8!}{5!3!}=\frac{8\times7\times6}{3!}=56$.

Banyaknya cara memilih 2 siswi dari 7 siswi adalah $C\left(7,2\right)=\frac{7!}{5!2!}=\frac{7\times6}{2}=21$.

Menurut aturan perkalian, banyaknya cara membentuk panitia pada kasus pertama adalah

$56\ \times21\ =1.176$

Kedua, panitia terdiri dari 4 siswa dan 1 siswi.

Banyaknya cara memilih 4 siswa dari 8 siswa adalah $C\left(8,4\right)=\frac{8!}{4!4!}=70$

Banyaknya cara memilih 1 siswi dari 7 siswi adalah $C\left(7,1\right)=\frac{7!}{6!1!}=7$

Menurut aturan perkalian, banyaknya cara membentuk panitia pada kasus kedua adalah

$70\ \times7\ =\ 490$

Ketiga, panitia terditi dari 5 siswa.

Banyaknya cara memilih 5 siswa dari 8 siswa adalah $C\left(8,5\right)=\frac{8!}{3!5!}=\frac{8\times7\times6}{3!}=56$

Banyaknya cara membentuk panitia pada kasus ketiga adalah 56.

Karena ketiga kasus tersebut saling lepas, maka menurut aturan penjumlahan diperoleh banyaknya cara membentuk panitia adalah $1.176+490+56=1.722$

Pembahasan:

Soal ini dapat diselesaikan menggunakan permutasi yang memuat unsur yang sama sebab terdapat 3 unsur 4 yang sama, 2 unsur 7 yang sama, dan 2 unsur 8 yang sama.

Banyaknya permutasi $n$ unsur yang memuat $r_1$ unsur sama, $r_2$ unsur sama, ... , $r_{k-1}$ unsur sama, dan $r_k$ unsur sama dengan $r_1+r_2+\ldots+r_k\le n$ ditentukan dengan rumus

$P\ =\ \frac{n!}{r_1!\cdot r_2!\cdot\ldots\cdot r_{k-1}!\cdot r_k!}$

Notasi $n!$ dibaca $n$ faktorial. Untuk setiap $$$n$ bilangan asli, didefinisikan

$n!\ =\ n\ \times n-1\ \times\ldots\ \times2\ \times1$

dan didefinisikan $0!\ =\ 1$.

Pada soal di atas, terdapat 7 unsur yaitu 4, 7, 8, 4, 4, 8, 7 dengan terdapat 3 unsur 4 yang sama, 2 unsur 7 yang sama, dan 2 unsur 8 yang sama, maka banyaknya susunan yang dapat dibentuk adalah

$P\ =\ \frac{7!}{3!2!2!}=210$

Pembahasan:

Soal ini dapat diselesaikan menggunakan kombinasi. Suatu kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n\$unsur berbeda adalah suatu pilihan dari $r$ unsur tanpa memperhatikan urutannya.

Kata kunci untuk membedakan antara kombinasi dengan permutasi adalah memperhatikan atau tidak memperhatikan urutannya.

Banyaknya kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur berbeda dengan $r\ \le n$ adalah

$C\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!}$

Perhatikan bahwa

$C\left(8,5\right)=\frac{8!}{\left(8-5\right)!5!}=\frac{8!}{3!5!}=\frac{8\times7\times6\ \times5!}{3!5!}=\frac{8\ \times7\times6}{3\times2\times1}=56$

Pembahasan:

Soal ini dapat diselesaikan menggunakan permutasi sebagian unsur yang berbeda. Permutasi $r$ objek yang diambil dari $n$ objek berbeda, dengan $r\ \le n$ adalah $P(n,r)$ yang didefinisikan sebagai

$P(n,r)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$

Perhatikan bahwa dalam permutasi urutan sangat diperhatikan.

Notasi $n!$ dibaca $n$ faktorial. Untuk setiap $$$n$ bilangan asli, didefinisikan

$n!\ =\ n\ \times n-1\ \times\ldots\ \times2\ \times1$

dan didefinisikan $0!\ =\ 1$.

Perhatikan bahwa dalam menyusun Ketua, Sekretaris, dan Bendahara tersebut, urutan sangat diperhatikan. Misalkan A, B, C, D, E adalah kelima anak tersebut. Sebagai contoh,

Ketua: A,

Sekretaris: B,

Bendahara: C

berbeda dengan

Ketua: A,

Sekretaris: C,

Bendahara: B.

Kedua susunan tersebut dianggap berbeda karena urutannya diperhatikan. Oleh karena itu untuk menyelesaikan soal ini dapat digunakan permutasi 5 unsur yang diambil 3 unsur.

Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah

$P\left(5,3\right)=\ \frac{5!}{\left(5-3\right)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{5\times4\times3\ \times2!}{2!}=5\times4\times3\ =\ 60$

Pembahasan:

Kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n\$unsur berbeda yang tersedia adalah suatu pilihan dari $r$ unsur tanpa memperhatikan urutannya $\left(r\le n\right)$, dan dilambangkan $C_r^n$.

Banyaknya kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia ditentukan dengan aturan

$C_r^n=\frac{n!}{\left(n-r\right)!\ \cdot\ r!}$

Sehingga didapatkan:

$C_2^n=3n$

$\Leftrightarrow\frac{n!}{\left(n-2\right)!\ \cdot\ 2!}=3n$

$\Leftrightarrow\frac{n\times\left(n-1\right)\times\left(n-2\right)!}{\left(n-2\right)!\ \cdot\ 2\times1}=3n$

$\Leftrightarrow\frac{n\times\left(n-1\right)}{2}=3n$, kalikan kedua ruas dengan $2$ didapatkan:

$\Leftrightarrow n^2-n=6n$

$\Leftrightarrow n^2-n-6n=0$

$\Leftrightarrow n^2-7n=0$

$\Leftrightarrow n\left(n-7\right)=0$

$\Leftrightarrow n=0$ atau $n=7$

Karena $r\le n$ maka diambil nilai $n=7$.

Jadi, nilai $n$ pada persamaan kombinasi $C_2^n=3n$ adalah 7.