Contoh Soal

Pembahasan:

Diketahui:

Percobaan mengambil sebuah bilangan dari himpunan bilangan cacah yang kurang dari 100

Ditanya:

Ruang sampel ?

Dijawab:

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin. Dalam hal ini, ruang sampel dinotasikan dengan S dan banyaknya anggota dari ruang sampel dinotasikan dengan n(S).

Contoh:

Pada percobaan melempar sebuah dadu, ruang sampelnya adalah $S=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$ .

Anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik sampel.

Ruang sampel dari percobaan tersebut adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 100 yaitu

$S=\left\{0,1,2,\ldots,98,99\right\}$

Pembahasan:

Anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik sampel. Sebagai contoh, dari percobaan melempar sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi angka (A) dan sisi gambar (G) diperoleh ruang sampel $S=\left\{A,G\right\}$. Sehingga titik sampel dari percobaan tersebut adalah A dan G.

• Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin.
• Percobaan adalah suatu tindakan dan pengamatan yang dilakukan untuk mengecek hipotesis.
• Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel yang berupa kejadian sederhana atau kejadian majemuk

Pembahasan:

Diketahui:

Uang koin dengan dua sisi yaitu angka (A) dan gambar (G) dilempar bersamaan dengan dadu yang memiliki 6 sisi yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6

Ditanya:

Ruang sampel?

Dijawab:

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin. Dalam hal ini, ruang sampel dinotasikan dengan S dan banyaknya anggota dari ruang sampel dinotasikan dengan n(S).

Contoh:

Pada percobaan melempar sebuah dadu, ruang sampelnya adalah $S=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$ .

Anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik sampel.

Perhatikan tabel hasil percobaan berikut.

Dengan mendaftar seluruh kejadian yang mungkin diperoleh ruang sampel sebagai berikut

$S=\ \left\{\left(A,1\right),\left(A,2\right),\left(A,3\right),\left(A,4\right),\left(A,5\right),\left(A,6\right),\left(G,1\right),\left(G,2\right),\left(G,3\right),\left(G,4\right),\left(G,5\right),\left(G,6\right)\right\}$

Pembahasan:

Diketahui:

Percobaan melempar 3 buah koin dengan dua sisi, yaitu sisi gambar (G) dan sisi angka (A)

Ditanya:

Ruang sampel?

Dijawab:

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin. Dalam hal ini, ruang sampel dinotasikan dengan S dan banyaknya anggota dari ruang sampel dinotasikan dengan n(S).

Contoh:

Pada percobaan melempar sebuah dadu, ruang sampelnya adalah $S=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$ .

Anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik sampel.

Berdasarkan definisi dari ruang sampel, ruang sampel dari percobaan tersebut adalah

Dengan kata lain diperoleh ruang sampel percobaan tersebut adalah

$S =\ \left\{GGG,GGA,GAG,GAA,AGG,AGA,AAG,AAA\right\}$

Pembahasan:

Diketahui:

Dua buah dadu dilempar secara bersamaan satu kali.

Ditanya:

Peluang muncul jumlah mata dadu sama dengan 8 atau 10 ?

Dijawab:

Ruang sampel dari soal ini adalah

Jadi $n\left(S\right)\ =\ 36$

Misalkan A adalah kejadian muncul mata dadu berjumlah 8 dan B adalah kejadian muncul mata dadu berjumlah 10.

Diperoleh

$A=\left\{\left(2,6\right),\left(6,2\right),\left(3,5\right),\left(5,3\right),\left(4,4\right)\right\}\ \Rightarrow n\left(A\right)\ =\ 5$

$B=\left\{\left(4,6\right),\left(6,4\right),\left(5,5\right)\right\}\ \Rightarrow n\left(B\right)\ =3$

$A\ \cap B\ =\ \varnothing$

Akibatnya A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas, maka

$P\left(A\cup B\right)\ =\ P\left(A\right)+P\left(B\right)\ =\frac{n\left(A\ \right)}{n\left(S\right)}+\frac{n\left(B\right)}{n\left(S\right)}=\frac{5}{36}+\frac{3}{36}=\frac{8}{36}$

Jadi, peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 atau 10 adalah $\frac{8}{36}.$

Pembahasan:

Diketahui:

Dua buah dadau dilempar bersamaan

Ditanya:

Peluang munculnya jumlah mata dadu sama dengan 10

Dijawab:

Misalkan S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan tiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama.

Jika A adalah suatu kejadian dan A adalah himpunan bagian dari S, maka peluang kejadian A adalah

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}$

dengan

n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A

n(S) adalah banyaknya anggota ruang sampel S

Jika peluang suatu kejadian bernilai 0, maka kejadian tersebut tidak mungkin terjadi. Jika peluang suatu kejadian bernilai 1, maka kejadian tersebut pasti terjadi. Peluang suatu kejadian berkisar antara $0\ \le P\left(A\right)\le1.$

Perhatikan tabel ruang sampel dari percobaan tersebut.

Diperoleh

$n\left(S\right)=\ 36.$

Misalkan A adalah kejadian muncul mata dadu berjumlah 10. Perhatikan bahwa

$A\ =\left\{\left(4,6\right),\left(6,4\right),\left(5,5\right)\right\}$

Sehingga $n\left(A\right)\ =3.$

Dengan demikian, peluang munculnya mata dadu berjumlah sama dengan 10 adalah $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.

Pembahasan:

Diketahui:

Andi mengambil sebuah bola dari kotak yang berisi 5 bolah merah dan 4 bola putih.

Ditanya:

Peluang bola yang diambil Andi berwarna merah?

Dijawab:

Misalkan S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan tiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama.

Jika A adalah suatu kejadian dan A adalah himpunan bagian dari S, maka peluang kejadian A adalah

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}$

dengan

n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A

n(S) adalah banyaknya anggota ruang sampel S

Jika peluang suatu kejadian bernilai 0, maka kejadian tersebut tidak mungkin terjadi. Jika peluang suatu kejadian bernilai 1, maka kejadian tersebut pasti terjadi. Peluang suatu kejadian berkisar antara $0\ \le P\left(A\right)\le1.$

Dalam hal ini, ruang sampel percobaan tersebut adalah 5 bola merah dan 4 bola putih.

Sehingga $n\left(S\right)\ =\ 9.$

Misalkan A adalah kejadian terambil bola berwarna merah. Diperoleh $n\left(A\right)=5.$

Dengan demikian, peluang bola yang diambil Andi berwarna merah adalah

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\frac{5}{9}$

Pembahasan:

Diketahui:

Dua buah dadu dilempar bersamaan.

Ditanya:

Peluang muncul nilai mutlak dari selisih kedua mata dadu tersebut lebih dari 3 ?

Dijawab:

Misalkan S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan tiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama.

Jika A adalah suatu kejadian dan A adalah himpunan bagian dari S, maka peluang kejadian A adalah

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}$

dengan

n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A

n(S) adalah banyaknya anggota ruang sampel S

Jika peluang suatu kejadian bernilai 0, maka kejadian tersebut tidak mungkin terjadi. Jika peluang suatu kejadian bernilai 1, maka kejadian tersebut pasti terjadi. Peluang suatu kejadian berkisar antara $0\ \le P\left(A\right)\le1.$

Dalam hal ini, ruang sampel percobaan tersebut adalah

Sehingga $n\left(S\right)\ =\ 36.$

Misalkan A adalah kejadian muncul nilai mutlak dari selisih kedua mata dadu lebih dari 3. Diperoleh

$A=\left\{\left(1,5\right),\left(1,6\right),\left(2,6\right),\left(5,1\right),\left(6,1\right),\left(6,2\right)\right\}$

Sehingga $n\left(A\right)=6$

Dengan demikian, peluang muncul nilai mutlak dari selisih kedua mata dadu lebih dari 3 adalah

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Pembahasan:

Diketahui:

Rangga memiliki sebuah kotak yang berisi 5 kelereng merah, 4 kelereng kuning, dan 3 kelereng hijau. Total = 12 kelereng

Ditanya:

Peluang terambil 1 kelereng merah, 1 kelereng kuning, dan 1 kelereng hijau?

Dijawab:

Misalkan S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan tiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama.

Jika A adalah suatu kejadian dan A adalah himpunan bagian dari S, maka peluang kejadian A adalah

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}$

dengan

n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A

n(S) adalah banyaknya anggota ruang sampel S

Jika peluang suatu kejadian bernilai 0, maka kejadian tersebut tidak mungkin terjadi. Jika peluang suatu kejadian bernilai 1, maka kejadian tersebut pasti terjadi. Peluang suatu kejadian berkisar antara $0\ \le P\left(A\right)\le1.$

Dalam hal ini, ruang sampel percobaan tersebut adalah semua kemungkinan terambilnya tiga kelereng. Banyaknya titik sampel dapat diperoleh menggunakan kombinasi, yaitu banyaknya cara mengambil 3 kelereng dari 12 kelereng. Diperoleh

$n\left(S\right)\ =\ C\left(12,3\right)\ =\frac{12!}{9!3!}=\frac{12\times11\ \times10\ \times9!}{9!3!}=220$

Misalkan A adalah kejadian ketiga kelereng yang terambil 1 kelereng merah, 1 kelereng kuning, dan 1 kelereng hijau. Banyaknya anggota dari A dapat diperoleh menggunakan kombinasi dan aturan perkalian, yaitu banyaknya cara mengambil 1 kelereng merah dari 5 kelereng merah, 1 kelereng kuning dari 4 kelereng kuning, dan 1 kelereng hijau dari 3 kelereng hijau. Diperoleh

$n\ \left(A\right)\ =\ C\left(5,1\right)\times C\left(4,1\right)\ \times C\left(3,1\right)\ =\ \frac{5!}{4!1!}\times\frac{4!}{3!1!}\times\frac{3!}{2!1!}=\ 5\times4\ \times3\ =\ 60$

Dengan demikian, peluang terambil 1 kelereng merah, 1 kelereng kuning, dan 1 kelereng hijau adalah $P\left(A\right)=\ \frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\frac{60}{220}=\frac{3}{11}$

Pembahasan:

Diketahui:

Murid diminta mengerjakan 10 dari 15 soal

Nomor 1 sampai 7 wajib dikerjakan

Ditanya:

Banyak pilihan soal yang dapat dipilih$=?$

Jawab:

Pemilihan soal-soal tersebut bila dibolak-balik akan dianggap sama (misalnya murid pilih nomor 8, 13, dan 14 sama saja dengan dia memilih nomor 14, 13, dan 8. untuk itu menggunakan prinsip kombinasi.

Ingat rumus faktorial dan rumus kombinasi

$n!=1\cdot2\cdot...\cdot\left(n-2\right)\cdot\left(n-1\right)\cdot n$

$C_k^n=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$

Dari ketentuan tersebut, murid tersebut hanya tinggal memilih 3 soal lain dari $15-7=8$ soal yang ada karena $7$ soal telah ditetapkan untuk dikerjakan.

Dengan demikian,

$n=8$

$k=3$

maka, $C_3^8=\frac{8!}{3!\left(8-3\right)!}=\ \frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{3!\cdot5!}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=\frac{8\cdot7\cdot6}{6}=56$

Jadi, banyak pilihan soal yang dapat dipilih adalah $56$.