Contoh Soal

Pembahasan:

Perhatikan bentuk $\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{g\left(x\right)}{x^3}=1$. Karena memiliki nilai limit berhingga, maka subtitusi langsung $x=0$ harus menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$. Ini mengaplikasikan

$\frac{\lim\limits_{x\rightarrow0}g\left(x\right)}{\lim\limits_{x\rightarrow0}x^3}=1$

sehingga mengharuskan $\lim\limits_{x\rightarrow0}g\left(x\right)=0$

Pembahasan:

Subtitusi langsung $$ $x=\frac{\pi}{2}$ menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.

ingat

$A=1-\sin^2x=\left(1+\sin x\right)\left(1-\sin x\right)$

$B=\left(\sin\ \frac{1}{2}x-\cos\ \frac{1}{2}x\right)^2\ =\sin^2\ \frac{1}{2}x+\cos^2\ \frac{1}{2}x-2\sin\ \frac{1}{2}x\cos\ \frac{1}{2}x=1-\sin x$

Dengan demikian, diperoleh

$\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{1-\sin^2x}{\left(\sin\ \frac{1}{2}x-\cos\ \frac{1}{2}x\right)^2}=\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{\left(1+\sin x\right)\left(1-\sin x\right)}{1-\sin x}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \left(1+\sin x\right)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1+\sin\ \frac{\pi}{2}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1+1=2$

Jadi,nilai $\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{1-\sin^2x}{\left(\sin\ \frac{1}{2}x-\cos\ \frac{1}{2}x\right)^2}=2$

Pembahasan:

Rumus umum limit fungsi trigonometri

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin mx}{nx}=\frac{m}{n}$

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\tan mx}{nx}=\frac{m}{n}$

Subtitusi langsung $x=0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.

Munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada dengan cara mengalikannya dengan $\ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$ , maka

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin5x+\tan3x-\sin5x}{\tan5x-\tan3x-\sin5x}\ \cdot\ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\frac{\sin5x}{x}+\frac{\tan3x}{x}-\frac{\sin5x}{x}}{\frac{\tan5x}{x}-\frac{\tan3x}{x}-\frac{\sin5x}{x}}=\frac{5+3-5}{5-3-5}=-1$

Jadi, nilai$\ \lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin5x+\tan3x-\sin5x}{\tan5x-\tan3x-\sin5x}=-1$

Pembahasan:

Rumus umum limit fungsi trigonometri

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin mx}{nx}=\frac{m}{n}$

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\tan mx}{nx}=\frac{m}{n}$

Subtitusi langsung $x=0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.

Munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada dengan cara mengalikannya dengan $\ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$ , maka

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{x\cos5x}{\tan5x-\sin4x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \left(\frac{x\cos5x}{\tan5x-\sin4x}\cdot\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\right)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\cos5x}{\frac{\tan5x}{x}-\frac{\sin4x}{x}}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\cos0}{5-4}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{1}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1$

Jadi, nilai $\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{x\cos5x}{\tan5x-\sin4x}=1$

Pembahasan:

Limit di atas memiliki bentuk $\ \frac{0}{0}$ maka bentuk pecahan perlu diubah terlebih dahulu

$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x\cos4x-\tan3x}{12x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x\left(\cos4x-1\right)}{12x^3}$

Karena $\cos ax=1-2\sin^2\frac{a}{2}x$ maka

$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x\left(1-2\sin^22x-1\right)}{12x^3}$

$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x\left(-2\sin^22x\right)}{12x^3}$

$=\lim\limits_{x\to0}\frac{-2\tan3x\sin^22x}{12x^3}$

$=-\frac{2}{12}\ .\ \lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x}{x}\ .\ \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin^22x}{x^2}$

$=-\frac{1}{6}\ .\ \lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x}{x}\ .\ \lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\sin2x}{x}\right)^2$

Karena berdasarkan rumus limit fungsi trigonometri, $\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan mx}{nx}=\frac{m}{n}$ dan $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin mx}{nx}=\frac{m}{n}$ maka

$=-\frac{1}{6}\ .\ 3\ .\ \left(2\right)^2$

$=-\frac{1}{6}\ .\ 3\ .\ 4$

$=-2$

Pembahasan:

Subtitusi $x=0$ menghasilkan nilai tak tentu $\frac{0}{0}$

Ingat identitas trigonometri dan rumus limit trigonometri

$2\sin^2x=1-\cos2x$

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$

Dengan demikian,

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x-\sin4x\cos2x}{4x^3}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x\left(1-\cos2x\right)}{4x^3}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x\left(2\sin^2x\right)}{4x^3}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x\sin^2x}{2x^3}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x}{2x}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin x}{x}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin x}{x}$

$=2\cdot1\cdot1$

$=2$

Jadi, nilai $\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x-\sin4x\cos2x}{4x^3}=2$

Pembahasan:

Subtitusi $x=1$ menghasilkan nilai tak tentu $\frac{0}{0}$

Ingat bahwa

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\tan ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$

Bentuk $\left(x^2-1\right)$ dapat difaktorkan menjadi $x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$ , maka

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \frac{\left(x^2-1\right)\tan\left(6x-6\right)}{\sin^2\left(x-1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\tan6\left(x-1\right)}{\sin^2\left(x-1\right)}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \left(\frac{\left(x-1\right)}{\sin\left(x-1\right)}\cdot\left(x+1\right)\cdot\frac{\tan6\left(x-1\right)}{\sin\left(x-1\right)}\right)$

$=\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \frac{\left(x-1\right)}{\sin\left(x-1\right)}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \left(x+1\right)\cdot\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \frac{\tan6\left(x-1\right)}{\sin\left(x-1\right)}$

$=1\cdot\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \left(x+1\right)\cdot6$

$=1\cdot\left(1+1\right)\cdot6$

$=12$

Jadi, nilai dari $\lim\limits_{x\rightarrow1}\ \frac{\left(x^2-1\right)\tan\left(6x-6\right)}{\sin^2\left(x-1\right)}=12$

Pembahasan:

Diketahui:

$\lim\limits_{x\to0}\frac{b\sin\frac{1}{2}x}{\tan3x}=10+b$

Ditanya:

$b=?$

Jawab:

Limit di atas memiliki bentuk $\ \frac{0}{0}$ maka bentuk pecahan perlu diubah terlebih dahulu

$\lim\limits_{x\to0}\frac{b\sin\frac{1}{2}x}{\tan3x}=10+b$

$\lim\limits_{x\to0}b\ .\ \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\frac{1}{2}x}{\tan3x}=10+b$

Karena $\lim\limits_{x\to c}a=a$ dan $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin mx}{\tan nx}=\frac{m}{n}$ maka

$b\ .\ \frac{\frac{1}{2}}{3}=10+b$

$b\ .\ \frac{1}{2}\ .\ \frac{1}{3}=10+b$

$\frac{1}{6}b=10+b$

$\frac{1}{6}b-b=10$

$\frac{1}{6}b-\frac{6}{6}b=10$

$-\frac{5}{6}b=10$

$b=-\frac{10\times6}{5}$

$b=-12$

Jadi, nilai $b$ yang memenuhi adalah $-12$

Pembahasan:

Berdasarkan rumus umum limit fungsi trigonometri,

$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$

Dengan demikian,

$\lim\limits_{x\to0}\frac{2\sin ax}{bx}$ $=2\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin ax}{bx}$

$=\frac{2a}{b}$

Pembahasan:

Subtitusi $x=\frac{\pi}{2}$ menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.

Gunakan rumus trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut:

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin x}{x}=1$

$\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$

Dengan demikian, diperoleh

$\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{\cos x}{\frac{\pi}{2}-x}=\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\frac{\pi}{2}-x}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1$

Jadi, nilai dari $\lim\limits_{x\rightarrow\ \frac{\pi}{2}}\ \frac{\cos x}{\frac{\pi}{2}-x}=1$