Contoh Soal

Pembahasan:

Variabel diskrit adalah variabel yang nilai-nilainya dapat dihitung banyaknya (countable). Sedangkan variabel kontinu adalah variabel yang nilai-nilainya tidak terbatas dan tidak dapat dihitung banyaknya.

Berdasarkan opsi di atas, banyak bilangan bulat yang kurang dari $4$ merupakan variabel yang nilai-nilainya tidak terbatas sehingga tidak dapat dihitung banyaknya. Variabel tersebut merupakan variabel kontinu.

Sedangkan opsi lainnya memiliki nilai yang dapat dihitung banyaknya. Variabel tersebut merupakan variabel diskrit.

Pembahasan:

Variabel diskrit adalah variabel yang nilai-nilainya dapat dihitung banyaknya (countable). Sedangkan variabel kontinu adalah variabel yang nilai-nilainya tidak terbatas dan tidak dapat dihitung banyaknya.

Berdasarkan opsi di atas, banyak anak perempuan dalam satu keluarga dapat dihitung (countable) sehingga merupakan variabel diskrit.

Sedangkan opsi lainnya memiliki nilai yang tidak terbatas sehingga tidak dapat dihitung banyaknya. Variabel tersebut merupakan variabel kontinu.

Pembahasan:

Diketahui:

$f\left(x,y\right)=\frac{x+2y}{72}$ untuk $x=0,1,2,3$ dan $y=0,1,2,3$

Ditanya:

Fungsi marginal variabel acak $X$ $=?$

Jawab:

Misal $X$ dan $Y$ adalah variabel acak diskrit yang memiliki fungsi probabilitas bersama $f\left(x,y\right)$ maka

distribusi marginal variabel acak $X$ ditentukan oleh

$f\left(x\right)=\sum_{y=0}^nf\left(x,y\right)$

distribusi marginal variabel acak $Y$ ditentukan oleh

$f\left(y\right)=\sum_{x=0}^nf\left(x,y\right)$

Dengan demikian,

$f\left(x,y\right)=\frac{x+2y}{72}$ untuk $x=0,1,2,3$ dan $y=0,1,2,3$

maka fungsi marginal variabel acak $X$ adalah

$f\left(x\right)=\sum_{y=0}^3\frac{x+2y}{72}$

$=\left(\frac{x+2\left(0\right)}{72}\right)+\left(\frac{x+2\left(1\right)}{72}\right)+\left(\frac{x+2\left(2\right)}{72}\right)+\left(\frac{x+2\left(3\right)}{72}\right)$

$=\left(\frac{x+0}{72}\right)+\left(\frac{x+2}{72}\right)+\left(\frac{x+4}{72}\right)+\left(\frac{x+6}{72}\right)$

$=\frac{4x+12}{72}$

$=\frac{x+3}{18}$

Bukti:

$\sum_{x=0}^3\frac{x+3}{18}=\left(\frac{0+3}{18}\right)+\left(\frac{1+3}{18}\right)+\left(\frac{2+3}{18}\right)+\left(\frac{3+3}{18}\right)$

$=\frac{3}{18}+\frac{4}{18}+\frac{5}{18}+\frac{6}{18}$

$=\frac{18}{18}$

$=1$

Jadi, fungsi marginal variabel acak $X$ adalah $f\left(x\right)=\frac{x+3}{18}$ .

Pembahasan:

Diketahui:

Jika $X$ adalah variabel acak diskrit dengan distribusi peluang sebagai berikut:

Ditanya:

Nilai harapan dari $X=?$

Dijawab:

Nilai harapan atau rata-rata variabel acak ditentukan oleh

$\mu=E\left(X\right)=\sum_{i=1}^nx_i\ .\ f\left(x_i\right)$

Dengan demikian untuk soal di atas nilai harapan dari $X$ didapatkan:

$\mu=E\left(X\right)=\sum_{i=1}^4x_i\ .\ f\left(x_i\right)$

$=0\left(\frac{1}{35}\right)+1\left(\frac{12}{35}\right)+2\left(\frac{18}{35}\right)+3\left(\frac{4}{35}\right)$

$=0+\frac{12}{35}+\frac{36}{35}+\frac{12}{35}$

$=\frac{60}{35}$

$=\frac{12}{7}$

Jadi, nilai harapan dari $X$ adalah $\frac{12}{7}$.

Pembahasan:

Diketahui:

Tabel distribusi probabilitas variabel acak $X$

Ditanya:

Nilai dari $P\left(X\le3\right)=?$

Dijawab:

Fungsi distribusi kumulatif didefinisikan sebagai:

$F\left(x\right)=P\left(X\le x\right)=\sum_{x_i\le x}^{ }p\left(x_i\right)$

Dengan demikian,

$P\left(X\le3\right)=P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)$

$\Leftrightarrow P\left(X\le3\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{3}{8}$

$\Leftrightarrow P\left(X\le3\right)=\frac{4+2+1+6}{16}$

$\Leftrightarrow P\left(X\le3\right)=\frac{13}{16}$

Jadi, nilai dari $P\left(X\le3\right)$ adalah $\frac{13}{16}$.

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi peluang variabel acak $X$

Ditanya:

Nilai dari $P\left(0\le x\le1\right)=?$

DIjawab:

Peluang variabel acak kontinu $P\left(a\le x\le b\right)$ dengan fungsi peluang $f\left(x\right)$ adalah:

$P\left(a\le x\le b\right)=\int_a^bf\left(x\right)dx$

Karena $0\le x\le1$ adalah subset dari $-1<x<2$ maka:

$P\left(0\le x\le1\right)=\int_0^1\frac{5}{33}x^4dx$

$=\frac{5}{33}\int_0^1x^4dx$

Ingat bahwa untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

dan

$\int_a^bf\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

dengan $F\left(x\right)$ adalah suatu anti turunan dari $f\left(x\right)$.

Sehingga:

$\frac{5}{33}\int_0^1x^4dx=\frac{5}{33}\left[\frac{1}{5}x^5\right]_0^1$

$=\frac{5}{33}\left[\left(\frac{1}{5}\left(1\right)^5\right)-\left(\frac{1}{5}\left(0\right)^5\right)\right]$

$=\frac{5}{33}\left(\frac{1}{5}-0\right)$

$=\frac{5}{33}\left(\frac{1}{5}\right)$

$=\frac{1}{33}$

Jadi, nilai dari $P\left(0\le x\le1\right)$ adalah $\frac{1}{33}$.

Pembahasan:

Diketahui:

1 lusin lampu ada 12 buah lampu

Lampu tidak rusak $=10$

Lampu rusak $=2$

Banyak lampu yang diambil secara acak $=4$

$X$ menyatakan banyak lampu rusak yang terambil

Ditanya:

$P\left(X=2\right)=?$

Jawab:

Misalkan $x=$ banyak lampu rusak yang terambil, maka $\left(4-x\right)=$ banyak lampu tidak rusak yang terambil.

$P\left(X=2\right)$ berarti peluang terambilnya $2$ lampu rusak.

Sehingga, $x=2$ menyatakan banyak lampu rusak yang terambil dan $\left(4-2\right)=2$ menyatakan banyak lampu tidak rusak yang terambil.

Persoalan di atas dapat diselesaikan dengan prinsip kombinasi yaitu:

$C_r^n=\frac{n!}{\left(n-r\right)!\ \cdot\ r!}$

dengan $\ n\ge r$.

$n=$ unsur yang tersedia

$r=$ unsur yang diambil

Nilai dari $0!=1$.

Untuk lampu rusak

Kombinasi pengambilan $2$ lampu rusak dari $2$ lampu rusak yang tersedia adalah:

$C_2^2=\frac{2!}{\left(2-2\right)!\ \cdot\ 2!}$

$=\frac{2!}{0!\ \cdot\ 2!}$

$=\frac{2!}{1\ \cdot\ 2!}$

$=1$

Untuk tidak rusak

Kombinasi pengambilan $2$ lampu tidak rusak dari $10$ lampu tidak rusak yang tersedia adalah:

$C_2^{10}=\frac{10!}{\left(10-2\right)!\ \cdot\ 2!}$

$=\frac{10!}{8!\ \cdot\ 2!}$

$=\frac{10\ \cdot\ 9\ \cdot\ 8!}{8!\ \cdot\ 2\ \cdot\ 1}$

$=45$

Untuk pengambilan 4 lampu dari 12 lampu yang tersedia, seluruhnya ada:

$C_4^{12}=\frac{12!}{\left(12-4\right)!\ \cdot\ 4!}$

$=\frac{12!}{8!\ \cdot\ 4!}$

$=\frac{12\ \cdot\ 11\ \cdot\ 10\ \cdot\ 9\ \cdot\ 8!}{8!\ \cdot\ 4\ \cdot3\ \cdot\ 2\ \cdot1}$

$=495$

Peluang terambilnya 1 bola hitam adalah:

$P\left(X=2\right)=\frac{C_2^2\times C_2^{10}}{C_4^{12}}$

$=\frac{1\times45}{495}$

$=\frac{45}{495}$

$=\frac{1}{11}$

Jadi, $P\left(X=2\right)=\frac{1}{11}$.

Pembahasan:

Diketahui:

Sekeping koin dilempar sebanyak $5$ kali

Ditanya:

Peluang mendapatkan sisi angka tepat $4$ kali $=?$

Jawab:

Soal di atas termasuk dalam kasus distribusi binomial karena percobaan terdiri dari $n$ pengulangan dan setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil seperti ya-tidak, sukses-gagal.

Di sini 5 kali pelemparan adalah percobaan dengan 5 pengulangan sedangkan mendapatkan sisi angka dan bukan sisi angka adalah dua kemungkinan hasil. Bukan sisi angka di sini artinya adalah sisi gambar.

Distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskrit dengan fungsi peluangnya adalah

$P\left(X=x\right)=b\left(x;\ n;\ p\right)=\left(_x^n\right)p^x\ .\ q^{n-x}$

dengan $x=0,1,2,...,n$ dan $\left(_x^n\right)=\frac{n!}{\left(n-x\right)!\ .\ x!}$

dimana $x$ adalah banyaknya sukses, $n$ adalah banyaknya percobaan, $p$ adalah probabilitas kesuksesan, dan $q=1-p$ adalah probabilitas kegagalan.

Dengan demikian,

Diketahui $n=5;\ x=4;\ p=\frac{1}{2}$

$P\left(X=4\right)=\left(_4^5\right)\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^{\left(5-4\right)}$

$=\left(\frac{5!}{\left(5-4\right)!\ .\ 4!}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^1$

$=\left(\frac{5!}{1!\ .\ 4!}\right)\left(\frac{1}{16}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$

$=\frac{5}{32}$

Jadi, peluang mendapatkan sisi angka tepat $4$ kali adalah $\frac{5}{32}$.

Pembahasan:

Perlu diingat bahwa $P\left(f\left(x\right)\right)=1$

Karena $f\left(x\right)=0$ untuk nilai $x$ yang tidak berada pada interval $0\le x\le2$ maka

$P\left(f\left(x\right)\right)=\int_0^2C\left(4x-2x^2\right)dx$

$\int_0^2C\left(4x-2x^2\right)dx=1$

$C\int_0^2\left(4x-2x^2\right)dx=1$

$C\left[\left(2x^2-\frac{2}{3}x^3\right)\right]_0^2=1$

$C\left[\left(2\left(2\right)^2-\frac{2}{3}\left(2\right)^3\right)-\left(2\left(0\right)^2-\frac{2}{3}\left(0\right)^3\right)\right]=1$

$C\left[\left(8-\frac{16}{3}\right)-\left(0-0\right)\right]=1$

$C\left(\frac{24}{3}-\frac{16}{3}\right)=1$

$C\left(\frac{8}{3}\right)=1$

$C=\frac{3}{8}$

Pembahasan:

Ragam dari variabel acak $X$ ditentukan oleh

$σ^2=E(x−μ)^2=\sum_{i=1}^n\left(\left(x_i​−μ\right)^2.f(xi​)\right)$

Dengan demikian, dicari nilai harapan atau rata-rata terlebih dahulu

$\mu=E\left(X\right)=\sum_{i=1}^nx_i\ .\ f\left(x_i\right)$

$=\sum_{i=1}^6x_i\ .\ f\left(x_i\right)$

$=0\left(0,12\right)+1\left(0,06\right)+2\left(0,7\right)+3\left(0,04\right)+4\left(0,05\right)+5\left(0,03\right)$

$=0+0,06+1,4+0,12+0,2+0,15$

$=1,93$

Ragam dari banyak kendaraan adalah

$σ^2=E(x−μ)^2=\sum_{i=1}^6\left(\left(x_i​−μ\right)^2.f(xi​)\right)$

$=\left(0-1,93\right)^2\left(0,12\right)+\left(1-1,93\right)^2\left(0,06\right)+\left(2-1,93\right)^2\left(0,7\right)+\left(3-1,93\right)^2\left(0,04\right)+\left(4-1,93\right)^2\left(0,05\right)+\left(5-1,93\right)^2\left(0,03\right)$

$=0,4470+0,0519+0,0034+0,0458+0,2142+0,2827$

$=1,0756$

Jadi, ragam dari banyak kendaraan yang melewati ruas jalan tersebut adalah $1,0756$.