Contoh Soal

Pembahasan:

Luas daerah yang diarsir disebut tembereng.

Luas tembereng dapat di cari dengan terlebih dahulu mencari luas juring kemudian dikurangi dengan luas segitiga.

Pembahasan:

Rumus untuk mencari keliling lingkaran adalah $K=2\pi r$

Pembahasan:

Segi empat tali busur merupakan segi empat yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Sifat dari segiempat tali busur adalah jumlah dua sudut yang saling berhadapan adalah 180º.

$\angle ABC+\angle ADC=180\degree$

$\angle BAD+\angle BCD=180\degree$

Dari soal didapatkan:

$\angle KLM+\angle KNM=180\degree$ dan $\angle LMN+\angle LKN=180\degree$

Sehingga diperoleh:

$\angle KLM+\angle KNM+\angle LMN+\angle LKN=180\degree+180\degree=360\degree$

Jadi, besar $\angle KLM+\angle LMN+\angle KNM+\angle LKN$ adalah $360\degree$.

Pembahasan:

Sudut pusat adalah daerah sudut yang dibatasi oleh dua jari-jari lingkaran yang titik sudutnya merupakan titik pusat lingkaran.

Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berhimpit dengan tali busur dan titik pusatnya berhimpit dengan suatu titik pada lingkaran.

Perhatikan gambar di bawah ini.

$\angle AOB$ adalah sudut pusat.

$\angle ACB$ adalah sudut keliling.

Dari soal didapatkan:

$\angle BOC,\ \angle COD,\ \angle FHO,\ \angle GDO,\ \angle BOD,\ \angle BOH,\ \angle COH,\ \angle DOH,\ \angle ACO$ merupakan sudut pusat karena sudut yang dibentuk oleh titik pusat dengan dua titik yang terletak pada lingkaran.

Sedangkan $\angle CAB$ merupakan sudut keliling karena sudut tersebut dibentuk oleh tiga titik yang terletak pada lingkaran.

Jadi, yang merupakan sudut keliling adalah $\angle CAB$.

Pembahasan:

Diketahui:

$\angle ACD=72\degree$

$\angle BAC=60\degree$

$\angle CAD=2x-6\degree$

$\angle ACB=x+9\degree$

Ditanya:

Besar $\angle CAD=?$

Jawab:

Segi empat tali busur merupakan segi empat yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Sifat dari segiempat tali busur adalah jumlah dua sudut yang saling berhadapan adalah 180º.

$\angle ABC+\angle ADC=180\degree$

$\angle BAD+\angle BCD=180\degree$

Dari soal didapatkan bahwa:

$\angle BAD+\angle BCD=180\degree$

$\Leftrightarrow\left(\angle BAC+\angle CAD\right)+\left(\angle ACD+\angle ACB\right)=180\degree$

$\Leftrightarrow\left(60\degree+2x-6\degree\right)+\left(72\degree+x+9\degree\right)=180\degree$

$\Leftrightarrow\left(2x+54\degree\right)+\left(x+81\degree\right)=180\degree$

$\Leftrightarrow3x+135\degree=180\degree$

$\Leftrightarrow3x=180\degree-135\degree$

$\Leftrightarrow3x=45\degree$

$\Leftrightarrow x=\frac{45\degree}{3}$

$\Leftrightarrow x=15\degree$

Sehingga didapatkan:

$\angle CAD=2x-6\degree$

$\Leftrightarrow\angle CAD=2\left(15\degree\right)-6\degree$

$\Leftrightarrow\angle CAD=30\degree-6\degree$

$\Leftrightarrow\angle CAD=24\degree$

Jadi, besar $\angle CAD$ adalah $24\degree$.

Pembahasan:

Diketahui:

Jari-jari = $r=21\$ cm

$\angle AOB=\alpha=120\degree$

Ditanya:

Panjang busur $AB=?$

Jawab:

Panjang busur adalah bagian dari keliling lingkaran yang dibatasi oleh dua titik.

Untuk menghitung panjang busur adalah sebagai berikut:

Panjang busur $AB=\frac{\alpha}{360\degree}\times2\pi r$

Sehingga pada soal didapatkan:

Panjang busur $AB=\frac{\alpha}{360\degree}\times2\pi r$

$=\frac{120\degree}{360\degree}\times2\left(\frac{22}{7}\right)\left(21\right)$

$=44$ cm

Jadi, panjang busur $AB$ adalah 44 cm.

Pembahasan:

Diketahui:

Lingkaran luar segitiga sebagai berikut.

dengan $\triangle PQR$ sama sisi.

Ditanya:

jari-jari lingkaran luar segitiga?

Jawab:

Perhatikan $\triangle PQR$ berikut!

Perhatikan $\triangle OQR$ pada gambar sebelumnya!

$\triangle OQR$ memiliki sudut istimewa ($30\degree,\ 60\degree,\ 90\degree$)

Perbandingan sisi OQ : RQ : RO adalah $a\ :\ 2a\ :\ a\sqrt{3}$

Diperoleh a = 6, sehingga panjang sisi RO adalah $6\sqrt{3}$ cm

Luas $\triangle PQR$ adalah

$L_{\triangle}=\frac{a\times t}{2}=\frac{12\times6\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}$ cm²

Jari-jari lingkaran luar segitiga adalah

$r=\frac{PQ.QR.RP}{4\times L_{\triangle}}=\frac{12\times12\times12}{4\times36\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$ cm.

Pembahasan:

Diketahui :

$\angle S$ = 130$\degree$

Ditanya : $\angle Q$

Pembahasan :

$\angle S$ dan $\angle Q$ adalah sudut berseberangan sehingga jumlah kedua sudut ini akan sama dengan 180$\degree$

$\angle S$ + $\angle Q$ = 180$\degree$

130$\degree$ + $\angle Q$ = 180$\degree$

$\angle Q$ = 180$\degree$ - 130$\degree$

$\angle Q$ = 50$\degree$

Jadi, besar $\angle Q$ adalah 50$\degree$

Pembahasan:

Diketahui:

$\angle AOB=60\degree$

Ditanya:

Besar $\angle ACO=?$

Jawab:

Sudut pusat adalah daerah sudut yang dibatasi oleh dua jari-jari lingkaran yang titik sudutnya merupakan titik pusat lingkaran.

Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berhimpit dengan tali busur dan titik pusatnya berhimpit dengan suatu titik pada lingkaran.

Perhatikan gambar di bawah ini.

$\angle AOB$ adalah sudut pusat.

$\angle ACB$ adalah sudut keliling.

$\angle AOB$ adalah sudut pusat dan $\angle ACB$ adalah sudut keliling dimana kedua sudut tersebut menghadap busur yang sama yaitu busur $AB$.

Sehingga hubungan antara $\angle AOB$ dan $\angle ACB$ dapat dituliskan:

$\angle AOB=2\times\angle ACB$

$\angle BOA$ dan $\angle AOD$ adalah dua sudut yang saling berpelurus, sehingga didapatkan bahwa:

$\angle BOA+\angle AOD=180\degree$

$\Leftrightarrow60\degree+\angle AOD=180\degree$

$\Leftrightarrow\angle AOD=180\degree-60\degree$

$\Leftrightarrow\angle AOD=120\degree$

$\angle AOD$ adalah sudut pusat dan $\angle ACD$ adalah sudut keliling dimana kedua sudut tersebut menghadap busur yang sama yaitu busur $AD$. Sehingga didapatkan:

$\angle AOD=2\times\angle ACD$

$\Leftrightarrow120\degree=2\times\angle ACD$

$\Leftrightarrow\angle ACD=\frac{120\degree}{2}$

$\Leftrightarrow\angle ACD=60\degree$

Untuk menentukan besar $\angle ACO$, didapatkan bahwa:

$\angle ACO+\angle OCD=\angle ACD$

$\angle ACO$ menghadap sisi $AO$ dan dan $\angle OCD$ menghadap sisi $OD$. $AO$ dan $OD$ adalah jari-jari lingkaran sehingga ukuran panjangnya sama. Karena $\angle ACO$ dan $\angle OCD$ menghadap sisi yang berukuran sama, sehingga $\angle ACO=\angle OCD$.

Sehingga diperoleh:

$\angle ACO+\angle OCD=\angle ACD$

$\Leftrightarrow\angle ACO+\angle ACO=60\degree$

$\Leftrightarrow2\angle ACO=60\degree$

$\Leftrightarrow\angle ACO=\frac{60\degree}{2}$

$\Leftrightarrow\angle ACO=30\degree$

Jadi, besar $\angle ACO$ adalah $30\degree$.

Pembahasan:

Diketahui :

$\angle ABC$ = 105$\degree$

$\angle BCD$ = 72$\degree$

Ditanya : perbandingan $\angle BCD$ : $\angle BAD$

Pembahasan :

Sifat pada segi empat tali busur ( segi empat sudut keliling ) adalah jumlah dua sudut yang saling berhadapan sama dengan 180$\degree$.

Artinya :

$\angle BCD$ + $\angle BAD$ = 180$\degree$

72$\degree$ + $\angle BAD$ = 180$\degree$

$\angle BAD$ = 108$\degree$

$\angle BCD$ : $\angle BAD$ = 72$\degree$ : 108$\degree$

( 72$\degree$ dan 108$\degree$ masing-masing dapat diperkecil dengan dibagi 36 )

$\angle BCD$ : $\angle BAD$ = $\frac{72}{36}$ : $\frac{108}{36}$

$\angle BCD$ : $\angle BAD$ = 2 : 3

Jadi, perbandingan $\angle BCD$ terhadap $\angle BAD$ adalah 2 : 3 .